Spezielle Relativitätstheorie: Die Verifizierung einer allgemeinen Boost-Matrix befindet sich in der Lorentz-Gruppe

Hinweise :

$$\text{your matrix :}\:\: \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{is this matrix :}\:\: \eta= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}} \\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \tag{01}$$ Wo $$\boldsymbol{0}\equiv \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\text{the null column vector}, \qquad \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\equiv \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} =\text{the null row vector} \tag{02}$$

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$$B= \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta^j \\ -\gamma \beta_k & \delta_k^j+\dfrac{(\gamma -1)\beta^j \beta_k}{\beta^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \tag{03}$$

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$$\boldsymbol{\beta}= \begin{bmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \beta_{3} \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix} \beta^{1} & \beta^{2} & \beta^{3} \end{bmatrix}, \qquad \mathrm{I}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \tag{04}$$

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$$\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}= \begin{bmatrix} \beta^{1} & \beta^{2} & \beta^{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \beta_{3} \end{bmatrix} =\beta^{m}\beta_{m} =\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\beta}=\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}=\beta^{2}=\dfrac{v^2}{c^2}=\dfrac{\gamma^2-1}{\gamma^2} \tag{05}$$

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$$\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix} \beta^{1}\\ \beta^{2}\\ \beta^{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1} & \beta_{2} & \beta_{3} \end{bmatrix} =\beta_{m}\beta^{n}= \begin{bmatrix} \beta_{1}^{2} & \beta_{1}\beta_{2} & \beta_{1}\beta_{3}\\ \beta_{2}\beta_{1} & \beta_{2}^{2} & \beta_{2}\beta_{3}\\ \beta_{3}\beta_{1} & \beta_{3}\beta_{2} & \beta_{3}^{2} \end{bmatrix} \tag{06}$$

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$$\left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)^{2}= \left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)\left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)= \boldsymbol{\beta}\underbrace{ \left (\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\beta}\right)}_{\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}=\left(\dfrac{{\gamma}^2-1}{\gamma^2}\right)\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \tag{07}$$

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Beachten Sie, dass wenn$\:\mathbf{n}\:$ist dann ein Einheits-3-Vektor$\:\mathrm{P}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}}\:$ist die Projektion auf seine Richtung, da für jeden$\:\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3}\:$

$$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}\mathbf{x}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3} \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} n_{1} & n_{2} &n_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}}_{\left(\mathbf{x} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{n} \right)} =\left(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{x} \right)\mathbf{n} \tag{08}$$ mit der bekannten Eigenschaft von Projektionen $$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}^{2}=\mathrm{P}_{\mathbf{n}} \tag{09}$$ Definieren $$\mathbf{n} \equiv \dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert}=\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\beta} \tag{10}$$ Dann $$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}}=\left( \dfrac{ \boldsymbol{\beta}}{\beta} \right) \left(\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\beta}\right)^{\mathsf{T}}=\dfrac{\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} }{\beta^{2}} \tag{11}$$ und (07) ist seine Eigenschaft als Projektion.

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BEARBEITEN :

$$\begin{align} & B^{\mathsf{T}}\eta B =\\ &\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\\ &\\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix}=\\ &\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma & +\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sigma & \boldsymbol{\rho}^{\mathsf{T}} \\ &\\ \boldsymbol{\rho} & \mathrm{Z} \end{bmatrix}\equiv \xi \tag{12} \end{align}$$

Wo$\:\xi\:$eine echte Symmetrie$\:4\times 4\:$Matrix mit Elementen$\:\sigma,\boldsymbol{\rho},\mathrm{Z}\:$ein reeller Skalar, ein reeller 3-Vektor und ein reeller Symmetrischer$\:3\times 3\:$Matrix, alles noch zu bestimmen. Jetzt,

$$\begin{align} \sigma=-\gamma^{2}\underbrace{\left(1-\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}\right)}_{1-\tfrac{v^2}{c^2}=\gamma^{-2}} \quad \Longrightarrow \quad \sigma=-1 \tag{13a} \end{align}$$

$$\begin{align} \boldsymbol{\rho} & =\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}-\gamma\boldsymbol{\beta}-\dfrac{\gamma(\gamma -1)\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\beta}}{\beta^2}\\ & =\gamma\left(\gamma-1\right)\boldsymbol{\beta}-\gamma\left(\gamma-1\right)\boldsymbol{\beta}\underbrace{\left(\dfrac{\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}}{\beta^2}\right)}_{=1} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{0} \tag{13b} \end{align}$$

$$\begin{align} \mathrm{Z} & =-\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}+\biggl(\mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}\biggr)^{2}\\ & = -\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}+\mathrm{I}+\dfrac{2(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}+\left(\gamma -1\right)^{2}\overbrace{\biggl(\dfrac{\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}\biggr)^{2}}^{=\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}/\beta^2}\\ & = \mathrm{I}+ \underbrace{\left[-\gamma^{2}+\dfrac{2(\gamma -1)}{\beta^2}+\dfrac{(\gamma -1)^{2}}{\beta^2} \right]}_{=0}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\quad \Longrightarrow \quad \mathrm{Z}=\mathrm{I} \tag{13c} \end{align}$$

So,

$$\begin{equation} B^{\mathsf{T}}\eta B = \xi = \begin{bmatrix} \sigma & \boldsymbol{\rho}^{\mathsf{T}} \\ &\\ \boldsymbol{\rho} & \mathrm{Z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\\ &\\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \equiv \eta \tag{14} \end{equation}$$

QED.

Eine andere, weniger chaotische Möglichkeit, dies zu tun, ist wie folgt. Verknüpfen Sie die Matrix mit der Identitätsmatrix durch einen Pfad, der definiert ist durch:

$$\Lambda:\mathbb{R}\to \mathscr{M}_{4\times4};\;\Lambda(\zeta) = \left(\begin{array}{c|c}\cosh\zeta & -\hat{B}^T \,\sinh\zeta\\\hline -\hat{B}\,\sinh\zeta &\mathrm{id} +\hat{B}\,\hat{B}^T\, (\cosh\zeta-1) \end{array}\right)\tag{1}$$

Wo$\zeta = \operatorname{artanh}\frac{v}{c}$ist die Schnelligkeit des vermeintlichen Boosts. Hier$\hat{B} =\frac{1}{v} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ist der Einheitsvektor der Richtungskosinusse, die entlang der Richtung der Verstärkung zeigen.

Aufgabe :Überprüfen Sie, ob alle Matrizen der angegebenen Form in Form von (1) geschrieben werden können, sodass sie alle einen glatten Pfad durch die Identität bilden (wo sie wann passieren$\zeta=0$).

Beachten Sie die nützliche kleine Formel$\hat{B}^T\,\hat{B} = 1$, so dass Sie Matrizen der Form in (1) fast so manipulieren können, als wären ihre Elemente abgesehen davon skalare Elemente$\hat{B}\,\hat{B}^T$bleibt unvereinfacht. Sie bekommen Dinge wie$(\hat{B}\,\hat{B}^T)^N = \hat{B}\,\hat{B}^T;\,N\geq 1$(Dies bedeutet, dass$(\hat{B}\,\hat{B}^T)^N$ist der idempotente Projektor auf die Richtung des Boosts), den Sie im Folgenden verwenden können.

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Aufgabe : Beweisen Sie das

$$\Lambda(\zeta)\Lambda(-\zeta) = \mathrm{id}\tag{2}$$

woher:

$$\frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}\zeta} \Lambda^{-1} = -\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)\tag{3}$$

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Nun, gegeben (3), haben wir sehr einfach:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\zeta} \left(\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\right) = \Lambda^T\left(-\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)^T\,\eta - \eta \,\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)\right)\,\Lambda=0\tag{4}$$

und, da die gesuchte Identität trivial folgt für$\zeta=0$, haben wir durch (4) ein Cauchy-Anfangswertproblem, bei dem die Ableitung eine Lipschitz-stetige Funktion von ist$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda$, Deshalb$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda=\eta$, wahr für alle$\zeta$, ist die einzigartige Lösung für dieses CIVP und die Identität ist bewiesen.

Sie haben also einen ziemlich nützlichen und kompakten Ausdruck für einen allgemeinen Boost in (1), und Sie können im Lichte von (3) sehen, dass es sich um die Exponentialmatrix von handelt$\zeta$mal die einfache Matrix auf der rechten Seite von (3). Die Matrix auf der rechten Seite von (3) wird manchmal als infinitesimaler Boost bezeichnet ; alle infinitesimalen Boosts sind Linearkombinationen mit den Richtungskosinussen als Gewichtungen der drei infinitesimalen Boosts für die drei räumlichen Koordinatenrichtungen.