Verwenden von Vier-Vektoren zum Lösen einer Relativitätsfrage [geschlossen]

Ich habe Probleme beim Lösen einer physikalischen Aufgabe. Ich habe es mehrere Stunden versucht, aber ich kann nicht erkennen, was ich falsch mache. Es könnte nur ein dummer Fehler sein. Dies ist ein Problem aus Morins Buch Spezielle Relativitätstheorie. Ich versuche, bei solchen Fragen besser zu werden.

Problem:

Trainieren Sie A mit der richtigen Länge L bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit nach Osten v , während Zug B mit richtiger Länge 2 L bewegt sich auch mit Geschwindigkeit nach Westen v . Wie lange dauert es, bis die Züge im Rahmen von A und B aneinander vorbeifahren (definiert als die Zeit zwischen dem Zusammenfallen der Vorderseiten und dem Zusammenfallen der Rückseiten)?

Mein Versuch:

Ich weiß, dass im Bodenrahmen die Zeit für A an B vorbei ist 3 L / 2 γ v , also sollte dies in den Frames von A und B gleich sein. Aber wenn ich die Zeit im Bezugsrahmen von A berechne, erhalte ich eine andere Antwort. Hier ist meine Arbeit:

Sei A das Ereignis, das das Ende des A-Zugs ist, und sei B das Ende des B-Zugs. Definiere auch X = 0 das Ende des A-Zuges zu sein, wenn sich die Vorderseite der Züge A und B berührt. Im Bodenrahmen haben wir

A = [ C T v T 0 0 ] , Und  B = [ C T 3 L − v T 0 0 ]

Umwandeln in A's Frame Yields (hier, β = v / C )

[ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ A = [ γ C T − β γ v T 0 0 0 ]

Dann bringt das Umwandeln von B in den Rahmen von A die Ergebnisse

[ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] ⋅ B = [ γ C T − β γ ( 3 L − v T ) − β γ C T + γ ( 3 L − v T ) 0 0 ] .

Das Gleichsetzen von A' und B' ergibt T = 3 L / 2 v , dem ein Faktor von fehlt 1 / γ .

Weiß jemand, wo ich falsch gelaufen bin?

Laut Zeitdilatation sollte die Zeit in den Frames der Züge übereinstimmen 3 L 2 v γ 2 . Da die Ereignisse an verschiedenen Enden der Züge stattfinden, geht auch die Gleichzeitigkeit verloren. Ich habe es geschafft, dieses Problem zu lösen, indem ich die grundlegenden Effekte einzeln angewendet habe.
Willkommen Neuer Mitwirkender Joseph Man! Ich habe einige konzeptionelle Fehler in Ihrem Denken identifiziert. (1) Wie sind Sie zu dem Schluss gekommen, dass die verstrichene Zeit gemäß einer Uhr in beiden Zügen gleich der verstrichenen Zeit gemäß einer Bahnhofsuhr sein sollte? (2) Warum werden die Zuglängen im Bahnhofsrahmen nicht zusammengezogen? (3) Sie scheinen (falsch) zu rechnen T statt T ' oder T ″ (die verstrichene Zeit im A- oder B-Frame)

Antworten (1)

Sie haben vergessen, dass die Längen der Züge A und B Lorentz-kontrahiert sind, wenn sie im Bodenrahmen beobachtet werden. Um diese Lorentz-Kontraktion zu berücksichtigen, sollten wir die 3L in Ihrem Ausdruck für teilen B um einen Faktor γ :

B = [ C T 3 L γ − v T 0 0 ] .

Mit diesem B ergibt die gewünschte Antwort.

Verwenden von Vier-Vektoren zum Lösen einer Relativitätsfrage [geschlossen]
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