Was ist Eigenzeit, Eigengeschwindigkeit und Eigenbeschleunigung?

Wenn zwei Veranstaltungen anstehen$(t,x,y,z)$Und$(d+dt,\; x+dx,\; y+dy,\; z+dz)$in einem gegebenen Inertialsystem ist dann die Eigenzeit zwischen ihnen$d \tau$, gegeben von:

$$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$ was gibt $$d\tau = \sqrt{dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2)/c^2}$$ Wenn Sie es nicht gewohnt sind, Dinge zu schreiben wie$dt^2$Und$dx^2$dann mach dir keine Sorgen; Lesen Sie weiter und ich werde gleich ein wenig mehr erklären. Physikalisch die Menge$d\tau$ist die Zeitspanne zwischen den Ereignissen, die von einer Uhr registriert wird, die sich mit konstanter Geschwindigkeit von einem Ereignis zum anderen bewegt.

Wenn sich eine solche Uhr über einen längeren Zeitraum bewegt, greift sie auf Ereignisse zu, die weiter auseinander liegen, und dann ist die gesamte Eigenzeit das Integral aller kleinen Bits von$d\tau$Entlang des Weges.

$$\tau = \int_{\mbox{path}} d\tau$$ Der "Weg" hier ist ein Weg in der Raumzeit. Sie wird Weltlinie genannt.

Um dieses Integral in die Praxis umzusetzen, dividieren wir zuerst die Gleichung durch$d\tau$von$dt$, geben

$$\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \left( \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 \right) } \\ = \sqrt{1 - v^2/c^2}$$ und dann $$\tau = \int d\tau = \int \frac{d\tau}{dt} dt = \int \sqrt{1-v^2/c^2} \; dt$$ Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, kann dieses Integral sofort durchgeführt werden. Es ist $$\tau = \sqrt{1 - v^2/c^2} \; \Delta t$$ Wo$\Delta t$ist die verstrichene Zeit in einem Trägheitsrahmen, und$v$ist die Geschwindigkeit der Uhr relativ zu diesem Trägheitsrahmen. Beachten Sie, dass, wenn der Rahmen derjenige ist, in dem die Uhr ruht, wir erhalten, dass die Eigenzeit gleich der in diesem Rahmen gemessenen Zeit ist, was mit dem übereinstimmt, was ich zuvor über die physikalische Interpretation der Eigenzeit gesagt habe.

Die richtige Zeit ist ein absolut zentrales Konzept in der speziellen Relativitätstheorie, daher lohnt es sich, die Mühe zu investieren, sie sorgfältig zu durchdenken.

Der Lorentzfaktor $\gamma$ist definiert

$$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ und so haben wir $$\Delta t = \gamma \tau .$$ Seit$\gamma \ge 1$zeigt dieses Ergebnis, dass die Zeit zwischen zwei Ereignissen, gemessen in einem Bezugsrahmen, im Allgemeinen länger ist als die eigentliche Zeit zwischen diesen beiden Ereignissen. Dies wird als Zeitdilatation bezeichnet. Betrachten wir zum Beispiel Teilchen wie Myonen, die mit hoher Geschwindigkeit durch die Erdatmosphäre reisen. Die eigentliche Zeit zwischen der Entstehung und dem Zerfall eines solchen Myons beträgt etwa 2 Mikrosekunden, und die Zeit, die von relativ zur Erde befestigten Zeitmessgeräten beobachtet wird, beträgt etwa 50 Mikrosekunden.

Der Begriff "Eigengeschwindigkeit" ist keine Standardterminologie, daher werde ich nicht versuchen, ihn zu definieren. Die Geschwindigkeit (relativ zu einem Inertialsystem) ist ein 3-Vektor, gegeben durch$d{\bf x}/dt$und die 4-Geschwindigkeit ist ein 4-Vektor, gegeben durch

$$v^\mu \equiv \frac{d x^\mu}{d\tau}.$$

Der Begriff "Eigenbeschleunigung" wird gewöhnlich so verstanden, dass er die gewöhnliche 3-Beschleunigung bezeichnet, wie sie im momentanen Ruherahmen der betreffenden Entität beobachtet wird. Das ist,

$$\mbox{proper acceleration } \; {\bf a}_0 = \frac{d {\bf v}}{dt} \;\;\;\mbox{in frame where} \;\; {\bf v} = 0.$$

Die 4-Beschleunigung ist definiert als

$$a^\mu \equiv \frac{d v^\mu}{d\tau}.$$ Das ist, $$\left( \begin{array}{c} a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ a^3 \end{array} \right) = \frac{d}{d\tau} \left( \begin{array}{c} \gamma c \\ \gamma {\bf v} \end{array} \right) = \gamma \frac{d}{dt} \left( \begin{array}{c} \gamma c \\ \gamma {\bf v} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \gamma \frac{d\gamma}{dt} c \\ \gamma \frac{d\gamma}{dt} {\bf v} + \gamma \frac{d\bf v}{dt}\end{array} \right).$$ Im momentanen Ruherahmen hat man$\gamma = 1$Und$\dot{\gamma} = 0$so in diesem Rahmen findet man $$a^\mu = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{d\bf v}{dt} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ {\bf a}_0 \end{array} \right)$$ Daher die unveränderliche Größe von$a^\mu$gleich dem Betrag der Eigenbeschleunigung ist.

Hinweis: Ich werde einen anderen Namen für die Geschwindigkeiten verwenden, weil ich Ihren nicht verstehen konnte.

Wie funktioniert die konstante Beschleunigung mit der speziellen Relativitätstheorie und der Lorentz-Transformation?

Lass mich zwei Frames nehmen,$S(t,x)$Und$S'(t',x')$, Wo$S'$bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$v$und die Rakete bewegt sich mit einer Geschwindigkeit$u$wrt$S$. Wo sich die Rakete mit einer Geschwindigkeit bewegt$u'$wrt$S'$.

Um einen Ausdruck für die Beschleunigungstransformation zu erhalten, müssen wir ein Trägheitsreferenzsystem betrachten$S'$so dass es sich immer mit der Rakete bewegt. Dies impliziert das$u'=0$Und$u=v$jederzeit.

In der Situation sagen wir das$S'$ist das momentane Ruhesystem des beschleunigenden Beobachters.

In diesem Sinne wird die Beschleunigung zwischen zwei Referenzrahmen zu

$$a' = \frac{(1-v^2/c^2)^{3/2}}{(1-uv/c^2)^3}a$$

für$u'=0$Und$u=v$,

$$a' = \frac{(1-u^2/c^2)^{3/2}}{(1-u^2/c^2)^3}a = (1-u^2/c^2)^{-3/2}a$$

oder

$$a' = a\gamma^3$$

Ist v′=dx′/dt′ richtige Geschwindigkeit?

Im Allgemeinen ist die Eigengeschwindigkeit definiert als

$$w = \frac{dx}{d\tau}$$ Wo$x$ist nur die Position des Teilchens. Also haben wir,

$$w = \frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau} = v\gamma$$

In diesem Sinne denke ich nicht$v'$(in meiner Notation$u'$) ist die Eigengeschwindigkeit.

Nach meinem Verständnis ist a die Beschleunigung von Punkt P, gemessen vom Referenzrahmen S, aber was ist a′? Ist es die Beschleunigung von Punkt P, gemessen vom Bezugssystem S′? Wenn S′ das Bezugssystem einer Rakete mit konstanter Beschleunigung war, wird a′ die Beschleunigung innerhalb der Rakete gemessen?

Ja,$a'$ist die gemessene Beschleunigung durch die$S'$das ist das momentane Ruhesystem der beschleunigenden Rakete.

Ist$a′$richtige beschleunigung? Wikipedia gibt an, dass die richtige Beschleunigung ist$a′=γ^3a$. Wie haben sie das bekommen?

Die richtige Beschleunigung ist definiert als die Größe der 4-Beschleunigung. 4-Beschleunigung definiert als,

$$\vec{A} = \frac{d\vec{U}}{d\tau} =(\gamma\dot{\gamma}, \vec{a}\gamma^2+ \vec{v}\gamma\dot{\gamma})$$

Wo$U$ist die 4-Geschwindigkeit. Also die richtige Beschleunigung,$\alpha$, wird,

$$\alpha = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} =$$

Sagen wir, dass die 4-Beschleunigung von$S$Ist$A$. Für$S'$es ist$A'$. Dann ist die Eigenbeschleunigung eine unveränderliche Größe .

Was impliziert

$$\alpha = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}} = \sqrt{\vec{A'} \cdot \vec{A'}}$$

Für$S$,

$$\vec{A} = (\gamma_u\dot{\gamma_u}, \vec{a}\gamma_u^2+ \vec{u}\gamma_u\dot{\gamma_u})$$

Daher,

$$\alpha = \sqrt{-\gamma_u^2\dot{\gamma_u}^2 + a^2\gamma_u^4 + u^2\gamma_u^2\dot{\gamma_u}^2+2(\vec{a} \cdot \vec{u}) \gamma_u^3\dot{\gamma_u}}$$

Seit

$$\dot{\gamma_u} = (\vec{a} \cdot \vec{u}) \gamma_u^3$$ wir haben

$$\alpha = \sqrt{\dot{\gamma_u}^2 + a^2\gamma_u^4} = \sqrt{(\vec{a} \cdot \vec{u})^2\gamma_u^6 + a^2\gamma_u^4}$$

Wenn wir den Fall wo nehmen

$$\vec{a} \parallel \vec{u}$$ wir haben,

$$\alpha = \sqrt{a^2u^2\gamma_u^6 + a^2\gamma_u^4}$$

$$\alpha = a\gamma_u^2\sqrt{u^2\gamma_u^2 + 1}$$

$$\alpha = a\gamma_u^2\sqrt{u^2\frac{1}{1-u^2}+ 1} = a\gamma_u^2\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}=a\gamma_u^3$$

Für$S'$

$$\alpha = \sqrt{\vec{A'} \cdot \vec{A'}} =$$

$$\vec{A'} = (\gamma_{u'}\dot{\gamma_{u'}}, \vec{a'}\gamma_{u'}^2+ \vec{u'}\gamma_{u'}\dot{\gamma_{u'}})$$

Aber wir haben gesagt,$u'=0$in einem momentanen Ruherahmen so$\gamma_{u'} = 1$Und$\dot{\gamma_{u'}}=0$. Daher,

$$\vec{A'} = (0, \vec{a'})$$

somit,

$$\alpha = \sqrt{a'^2} = a'$$

Endlich haben wir also

$$\alpha = a' = a\gamma_u^3$$

Ich weiß nicht, wie ich diese beiden Formeln herleiten soll:

Also haben wir,

$$a = a'( 1 - u^2/c^2)^{3/2}$$ Und$\frac{dt}{d\tau} = \gamma$

Jetzt,

$$a = \frac{du / d\tau}{dt / d\tau}$$

Von hier aus können Sie schreiben,

$$\frac{du} {d\tau} = a \frac{dt} {d\tau} = a'(1-u^2/c^2)$$

wehn Sie integrieren, um zu finden$u$Du wirst kriegen,

$$u = ctanh(a'\tau /c)$$ Daher können wir schreiben, $$\gamma = cosh(a'\tau /c)$$

Seit

$$dt = \gamma d\tau$$ wir haben,

$$t = \int cosh(a'\tau / c)d\tau$$

$$t = \frac{c}{a'}sinh(\frac{a'\tau}{c})$$

Ich glaube Ihrer Ableitung von$a$ist richtig, zumindest laut dieser Wikipedia-Seite. Jedoch,$a$ist nicht die richtige Beschleunigung, da Sie die Ableitung genommen haben$dx/dt$und nicht$dx/d\tau$. Hier,$d\tau = dt^\prime$. Eine Ableitung der richtigen Beschleunigung befindet sich weiter auf dieser Wikipedia-Seite.

Konzeptionell ist die Eigenzeit eines sich bewegenden Teilchens definiert als die Zeit, die von einer Uhr aufgezeichnet wird, die der Flugbahn dieses Teilchens in der Raumzeit folgt. Es ist die Zeit, die von einer Uhr im eigenen Bezugssystem des Teilchens aufgezeichnet wird, selbst wenn dieses Bezugssystem nicht inertial ist. In diesem Fall wird die Eigenzeit von einer Familie von Trägheitsrahmen aufgezeichnet$S_t$, wo überhaupt$t$,$S_t$bewegt sich sofort mit dem Teilchen mit. Wenn wir die 4-Position verwenden, sind die 4-Geschwindigkeit und die 4-Beschleunigung Ableitungen$d/d\tau$.

„Was ist Eigenzeit, Eigengeschwindigkeit und Eigenbeschleunigung?“

Die Eigenzeit ist die Zeit, die entlang einer gegebenen Weltlinie des Beobachters verstrichen ist, gemessen mit einer vom Beobachter getragenen Armbanduhr. Es ist vergleichbar mit dem, was ein Kilometerzähler entlang eines bestimmten Weges misst. Es ist eine unveränderliche Größe des gegebenen Pfades zwischen zwei Ereignissen. (Dies stimmt mit der Beschreibung von @Danny Kong überein.)

Die Eigengeschwindigkeit (als Schnelligkeit bezeichnet) ist die räumliche Komponente der 4-Geschwindigkeit eines Beobachters. Von der Geschwindigkeit her schon$v/\sqrt{1-(v/c)^2}=v\gamma$. In Bezug auf die Schnelligkeit ist es das$v\cosh\theta=c\tanh\theta\cosh\theta=c\sinh\theta$. Es ist keine Invariante – es hängt davon ab, ob der Bezugsrahmen die Messung durchführt. Sein Name leitet sich von einer Ableitung in Bezug auf die Eigenzeit ab ... obwohl es keine Invariante ist.)

Richtige Beschleunigung$\rho$ist die Größe der 4-Beschleunigung, die die „Krümmung einer Kurve“ misst, ihre Abweichung von einer Geodäte (von einer Trägheit). Sie ist die Ableitung der Schnelligkeit nach der Eigenzeit$\rho=d\theta/ds$. In Bezug auf die Koordinatenbeschleunigung ist es$\rho=a\cosh^3\theta=a\gamma^3$. Es ist eine Invariante.

(In Bezug auf Ihre Berechnung muss ich genauer hinsehen. Was bei Ihrer Berechnung möglicherweise ein Problem darstellt, ist die Unterscheidung zwischen der "Größe eines 4-Vektors" und der "x-Komponente eines 4-Vektors".)