Von E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 zu E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [geschlossen]

Question

Von E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 zu E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [geschlossen]

ODP

Was ist jeder mathematische Schritt (im Detail), den man unternehmen würde, um Folgendes zu erhalten:

$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$

Zu

$E = \gamma mc^2$ ,

Wo $\gamma$ ist der relativistische Dilatationsfaktor.

Dies gilt für ein Objekt in Bewegung.

HINWEIS: In der Antwort möchte ich eine vollständige Erklärung. ZB wenn erklärt wird, wie man ableitet $x$ aus $\frac{x+2}{2}=4$ , anstatt eine Antwort zu geben von " $\frac{x+2}{2}=4$ , $x+2 = 8$ , $x = 6$ “ Geben Sie einen an, in dem Sie jeden Schritt beschreiben, wie „mal 2 auf beiden Seiten, -2 auf beiden Seiten“, aber natürlich immer noch mit den angezeigten Zahlen. (Sie wären überrascht, wie die Leute annehmen würden, nicht so detailliert zu beschreiben).

John Rennie

Ich habe mich verändert

m

$m$ Zu

m_{0}

$m_0$ Um es klar zu machen, es ist die Ruhemasse. Wenn Sie dies nicht so gemeint haben, machen Sie meine Änderung bitte rückgängig.

ODP

Oh warte, ich denke, das ist, wenn es sich bewegt, weil diese Gleichung

E = γ m c^{2}

$E=\gamma mc^2$ zeigt, wie, wenn ein Objekt die Lichtgeschwindigkeit erreicht hätte, es unendliche Energie verbraucht hätte (obwohl es nicht ganz richtig ist) und soweit ich weiß

E^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}

$E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ ist für Objekte, die sich bewegen, also sicher

E = γ m c^{2}

$E=\gamma mc^2$ wäre für ein sich bewegendes Objekt?

ODP

@JohnRennie Ich habe deine Bearbeitung rückgängig gemacht, aber bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege

David z

Es ist nichts falsch mit der Verwendung

m

$m$ für die Ruhemasse, wie dies die moderne Konvention ist.

David z

Übrigens, obwohl Sie danach fragen dürfen, ist das Maß an mathematischen Details, das Sie zu wollen scheinen, mehr als die Antworten, die auf dieser Website erwartet werden. Mit anderen Worten, es ist wirklich nicht unsere Aufgabe, grundlegende Algebra zu erklären.

ODP

Wer sagt, dass es einfach wäre?

ODP

Als die

m

$m$ Hier ist für einen Körper in Bewegung, sollte es sein

m_{rel}

$m_\text{rel}$

Antworten (3)

Von E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 zu E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [geschlossen]

Ich habe mich verändert $m$ Zu $m_0$ Um es klar zu machen, es ist die Ruhemasse. Wenn Sie dies nicht so gemeint haben, machen Sie meine Änderung bitte rückgängig.
Oh warte, ich denke, das ist, wenn es sich bewegt, weil diese Gleichung $E=\gamma mc^2$ zeigt, wie, wenn ein Objekt die Lichtgeschwindigkeit erreicht hätte, es unendliche Energie verbraucht hätte (obwohl es nicht ganz richtig ist) und soweit ich weiß $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ ist für Objekte, die sich bewegen, also sicher $E=\gamma mc^2$ wäre für ein sich bewegendes Objekt?
@JohnRennie Ich habe deine Bearbeitung rückgängig gemacht, aber bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege
Es ist nichts falsch mit der Verwendung $m$ für die Ruhemasse, wie dies die moderne Konvention ist.
Übrigens, obwohl Sie danach fragen dürfen, ist das Maß an mathematischen Details, das Sie zu wollen scheinen, mehr als die Antworten, die auf dieser Website erwartet werden. Mit anderen Worten, es ist wirklich nicht unsere Aufgabe, grundlegende Algebra zu erklären.
Als die $m$ Hier ist für einen Körper in Bewegung, sollte es sein $m_\text{rel}$

kηives · Answer 1

Beginnend mit Ihrer gegebenen Gleichung addieren wir $p^2 c^2$ zu beiden Seiten zu bekommen

E^{2} = M^{2} C^{4} + P^{2} C^{2}

$E^2=m^2 c^4 + p^2 c^2$ jetzt mit der Definition des relativistischen Impulses

p = γ m v

$p=\gamma m v$ wir ersetzen das oben, um es zu bekommen

E^{2} = M^{2} C^{4} + (γ M v)^{2} C^{2} = M^{2} C^{4} + γ^{2} M^{2} v^{2} C^{2}

$E^2 = m^2 c^4 +(\gamma m v)^2 c^2=m^2 c^4 +\gamma^2 m^2 v^2 c^2$ Jetzt faktorisieren Sie ein gemeinsames aus

m^{2} c^{4}

$m^2 c^4$ von beiden Begriffen auf der RHS in Erwartung der Antwort, die wir erhalten

E^{2} = M^{2} C^{4} (1 + \frac{v^{2}}{C^{2}} γ^{2})

$E^2=m^2 c^4 (1+\frac{v^2}{c^2}\gamma^2)$ Verwenden Sie nun die Definition von

γ

$\gamma$ als

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ und Ersetzen dieses in für

γ

$\gamma$ wir bekommen

E^{2} = M^{2} C^{4} (1 + \frac{\frac{v^{2}}{C^{2}}}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}})

$E^2=m^2 c^4 \left(1+\frac{\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$ und machen einen gemeinsamen Nenner für das Element in Klammern, das wir erhalten

E^{2} = M^{2} C^{4} (\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}) = M^{2} C^{4} γ^{2}

$E^2=m^2 c^4 \left( \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)=m^2 c^4 \gamma^2$ Das Ziehen der Quadratwurzel aus beiden Seiten ergibt

E = \pm γ M C^{2}

$E=\pm \gamma mc^2$ Hoffe das hilft.

Ron Maimon · Answer 2

Zuerst stellst du ein $c=1$ .

E^{2} - P^{2} = M^{2}

$E^2 - p^2 = m^2$

Dann denken Sie darüber nach , es heißt, dass die relativistische Länge des Energie-Impuls-Vektors "m" ist. Das Verhältnis von p zu E ist die Geschwindigkeit, da dies mit einem Vierervektor unter einem Boost passiert, erhält er Raumkomponenten und Zeitkomponenten, deren Verhältnis die Geschwindigkeit ist. Aus $|p|=v|E|$ , Sie ersetzen,

E^{2} (1 - v^{2}) = M^{2}

$E^2(1-v^2) = m^2$

Und

E = \frac{M}{\sqrt{1 - v^{2}}}

$E= { m\over\sqrt{1-v^2}}$

Erledigt.

Es ist im Allgemeinen ein Zeichen völliger Inkompetenz, c nicht auf 1 zu setzen, es lässt nur lächerlich triviale geometrische Formeln, die, wie Sie oben sehen können, absolut transparent sind, aussehen, als wären sie raffiniert oder kompliziert.

Ja, jede Formel mit Multiplikationen und Divisionen durch c gespickt zu haben, wenn man es am Anfang hätte machen können, führt zu großer Verwirrung und ist einfach schlecht für die Lesbarkeit (ich würde so etwas nicht im Softwarecode wollen, geschweige denn im Text das für Menschen geschrieben ist). Ich denke, obwohl es ein bisschen wie schwer lesbarer Code ist, der von cleveren Programmierern geschrieben wurde - kein Zeichen von Inkompetenz, nur eine unangenehme Angewohnheit -, ist es leicht zu lesen, wenn Sie dieses Zeug viel gemacht haben.
@Dmytry: Das ist eine gute Analogie, es ist wie (leicht) verschleiertes C --- jede erfahrene Person ignoriert die cs im Kopf und sieht die Ableitung so, wie ich sie oben geschrieben habe, egal wie sie auf der Seite steht. Aber wenn Sie dann Ihre Gedanken transkribieren und die cs hinzufügen, verschleiert es Ihre Argumentation in einer Algebra-Schicht, die ein Schüler nicht durchschauen kann, und lässt Sie für einen Schüler wie einen Zauberer aussehen. Diese Art von Dingen tötet die Physikpädagogik und ist der Grund, alle irrelevanten Konstanten aus allen Formeln in einem ersten Durchgang zu entfernen.

qoqosz · Answer 3

Beginnend mit relativistischem Impuls

P^{2} = {(γ M v)}^{2} = \frac{M^{2} v^{2}}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}

$p^2 = \left( \gamma m v \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ man als bekommt

E = \pm \sqrt{M^{2} C^{4} + P^{2} C^{2}} = \pm \sqrt{M^{2} C^{4} + \frac{M^{2} v^{2} C^{2}}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} = \pm M C^{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}} + \frac{\frac{v^{2}}{C^{2}}}{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}} = \pm γ M C^{2}

$E = \pm \sqrt{ m^2 c^4 + p^2 c^2 } = \pm \sqrt{ m^2 c^4 + \frac{m^2 v^2 c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} } = \pm mc^2 \sqrt{\frac{1- \frac{v^2}{c^2}}{1- \frac{v^2}{c^2}} + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \pm \gamma mc^2$

Was ich mir erhofft hatte, wäre eine Erklärung dafür, wie "man dann den nächsten Teil bekommt".
@Olly die Erklärung ist genau dort in den Gleichungen in dieser Antwort.

Von E2−p2c2=m2c4E2−p2c2=m2c4E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 zu E=γmc2E=γmc2E = \gamma mc^2 [geschlossen]

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John Rennie

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David z

David z

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Dmytry

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ODP

David z

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