Einleitung

Ich denke, Ihre Frage ist etwas fehlgeleitet, weil Sie versuchen, eine gerade Achse zu zeichnen, entlang der die Zeit gemessen würde. Anstelle der von einem beliebigen Beobachter gemessenen Zeit ist die einzige Zeit, die für diesen Beobachter in den meisten Fällen von Bedeutung ist, die Eigenzeit. Um die Eigenzeit zu messen, muss man die Bogenlänge einer Kurve messen, also die Weltlinie des Beobachters. Sobald Sie das verstanden haben, brauchen Sie nicht mehr unzählige gestrichelte Linien zu zeichnen. Raum-Zeit-Diagramme bleiben natürlich weiterhin nützlich.

Ich werde Ihre Frage also so beantworten, dass ich sehr schnell die richtige Zeit einführe und wie sie sich auf die Bogenlänge bezieht. Ich werde dann das Zwillingsparadoxon auflösen, indem ich zeige, dass, wenn die beiden Zwillinge ($A$Und$B$) sich bei einem Ereignis treffen, dann teilen, dann wieder treffen, misst der Zwilling, der nicht beschleunigt hat, die größte Zeitverzögerung (wird älter sein).

Weltlinie

Die Position jedes punktartigen Objekts in der 4D-Raumzeit kann angegeben werden durch$x^\mu=\left(ct, \mathbf{r}\right)^\mu=\left(ct,x,y,z\right)$. Hier verwende ich immer kartesische Koordinaten. Dies ist die Position, die einem Objekt von einem Trägheits-(Laborrahmen-)Beobachter zugewiesen wird.

Wir neigen dazu, Objekte diskutieren zu wollen, die nicht plötzlich verschwinden, also werden alle Objekte statt einer einzigen Position eine Weltlinie haben , eine durchgehende Linie, die jederzeit die Position des Objekts angibt. Du hast in deinen Skizzen einige Weltlinien gezeichnet.

Da die Weltlinie tatsächlich eine Linie ist, kann sie durch eine einzige (reelle) Zahl parametrisiert werden. Ein möglicher Weg, die Weltlinie zu parametrisieren, ist die Laborzeit, dh

$$x^\mu\left(t\right)=\left(ct,\,\mathbf{r}\left(t\right)\right)^\mu$$

Das ist einfach und oft notwendig, um Mathematik mit beobachtbaren Phänomenen zu verknüpfen, aber eine solche Beschreibung ist theoretisch unbequem, da Ihre Zeit möglicherweise anders ist als meine, wenn wir uns relativ zueinander bewegen.

Ein anderer Ansatz besteht darin, die Parametrisierung an die Bogenlänge der Kurve zu binden. Stellen Sie sich vor, es gibt zwei Ereignisse:

$$\begin{align} x^\mu_1&=\left(ct,\mathbf{r}\right)^\mu \\ x^\mu_2&=\left(ct+c\delta t,\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}\right)^\mu \end{align}$$

die nahe beieinander liegen. Ich würde mich freuen, hier korrigiert zu werden, aber soweit ich verstehe, würde sich die Definition von „nahe“ hier darauf verlassen$\mathbb{R}^4$Topologie der Raumzeit .

Als nächstes können wir die folgende Menge berechnen:

$$ds = \sqrt{c^2 \left(\delta t\right)^2 - \left(\delta\mathbf{r}.\delta\mathbf{r}\right)}$$

das wäre der unveränderliche "Abstand" zwischen$x^\mu_1$Und$x^\mu_2$. Invariant, weil sich alle Trägheitsbeobachter auf diesen Abstand einigen würden. Hier beschränken wir uns der Einfachheit halber auf Weltlinien von Objekten, die sich mit unterschwelliger Geschwindigkeit bewegen. Was das für alle eng beieinander liegenden Ereignisse auf der Weltlinie des Objekts bedeuten würde$ds>0$.

Wir können dann einen Punkt auf der Weltlinie definieren,$x_0^\mu$schlagen$s=0$, und finden Sie die unveränderliche Entfernung von diesem Punkt zu jedem anderen Punkt,$x^\mu_1$, auf der Weltlinie, durch Integration von:

$$s_1 = \int_{x_0}^{x_1} ds = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{c^2 \left(d t\right)^2 - \left(\delta\mathbf{r}.\delta\mathbf{r}\right)}$$

Machen Sie sich keine Sorgen darüber, ob Sie das Integral tatsächlich durchführen, es reicht zu verstehen, dass es möglich ist, es zu tun. Das Schöne an diesem Ansatz ist, dass sich zwei beliebige Beobachter auf diesen „Abstand“ einigen werden$x_0^\mu$Zu$x_1^\mu$entlang der Kurve, wie oben skizziert, die ich als Bogenlänge bezeichnen werde$s_1$.

Jetzt können wir also einfach alle Punkte auf der Kurve mit dieser Bogenlänge parametrisieren.

$$x^\mu\left(s\right)=\left(ct\left(s\right),\,\mathbf{r}\left(s\right)\right)^\mu$$

Richtige Zeit

Stellen Sie sich nun einen Beobachter vor, der in einer Rakete oder so etwas sitzt und sich an einer Uhr festhält. Unabhängig davon, ob der Beobachter (und die Uhr) inertial ist oder beschleunigt, kann man sich immer ein Inertialsystem vorstellen, in dem der Beobachter augenblicklich ruht (und der nächste zweite Beobachter möglicherweise nicht mehr in diesem System ruht). Nennen wir es das momentane Ruhesystem (ich erinnere mich, dass es auch das tangentiale Ruhesystem genannt wurde). In diesem augenblicklichen Ruhe-Frame,$\bar{S}$die Weltlinie der Uhr wird sein

$$\bar{x}^\mu\left(s\right)=\left(c\bar{t}\left(s\right),\mathbf{0}\right)^\mu$$

Dies gilt natürlich nur für die Zeit, in der die Uhr nahezu stillsteht$\bar{S}$. Betrachten Sie die Bogenlänge zwischen zwei eng beieinander liegenden Ereignissen$\bar{x}^\mu\left(s\right)$Und$\bar{x}^\mu\left(s+\delta s\right)=\bar{x}^\mu\left(s\right)+\left(c\delta\bar{t},\mathbf{0}\right)^\mu$. Hier$\delta \bar{t}$ist die Zeitdifferenz, die von der Uhr des Beobachters gemessen würde (dasselbe wie die Zeit in$\bar{S}$da die Uhr augenblicklich in Ruhe ist$\bar{S}$). Per Definition der Bogenlänge ist es:

$$\delta s=\sqrt{c^2\left(\delta\bar{t}\right)^2}=c\delta\bar{t}$$

Seit Lichtgeschwindigkeit,$c$konstant ist, kann man sehen, dass die Uhr des Beobachters die Bogenlänge in „Lichtjahren“ misst (dh die Zeit des Beobachters mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert, um die Bogenlänge zu erhalten). Basierend auf dieser Erkenntnis definieren wir den richtigen Zeitpunkt$\tau=s/c$. Dies ist die Zeit, die von einem Beobachter gemessen wird, der sich entlang einer Weltlinie bewegt, aber es ist auch die Bogenlänge dieser Weltlinie, gemessen in Zeiteinheiten. Wir können daher jede Weltlinie durch ihre Eigenzeit parametrisieren:

$$x^\mu\left(\tau\right)=\left(ct\left(\tau\right),\,\mathbf{r}\left(\tau\right)\right)^\mu$$

Gekrümmte Weltlinien & Zwillingsparadoxon

Stellen wir uns zwei Ereignisse vor$x_1^\mu$Und$x_2^\mu$und davon ausgehen, dass es möglich ist, von zu bekommen$x_1^\mu$Zu$x_2^\mu$mit subluminaler Geschwindigkeit. Stellen wir uns zwei Wege zwischen diesen beiden Punkten vor. Ein Pfad ist der eines Objekts$A$das beschleunigt nicht, ein anderes Objekt$B$das beschleunigt und dann verlangsamt (sonst würde es sich nicht treffen$A$). Die erste Weltlinie wird gerade sein, die zweite gekrümmt (ich werde die Linienkrümmung hier nicht weiter erklären, da sie vermieden werden kann).

Angenommen, die Uhren von$A$Und$B$synchronisiert sind$x_1^\mu$($\tau_A=\tau_B=0$bei$x_1^\mu$).

Man kann zeigen, dass die Eigenzeit gemessen wird durch$A$am Punkt$x_2^\mu$, dh$\tau_{A@2}$wird für alle Weltlinien, die durch beide gehen, die längstmögliche sein$x_1^\mu$Und$x_2^\mu$und sind an allen Punkten zeitähnlich (dh nur subluminale Reisegeschwindigkeiten)

Wie? Betrachten Sie die Weltlinie des Beobachters$A$in einem eigenen Ruherahmen ($S'$):

$${x'}_A^\mu \left(t'\right) ={x'_1}^\mu + \left(ct',\mathbf{0}\right)^\mu$$

Wo$t'=\tau_A$($A$'s Ruhesystem). Deshalb${x'_2}^\mu=\left(c\tau_{A@2},\mathbf{0}\right)^\mu$. Was ist die Weltlinie von$B$In$S'$? Sagen wir diese Geschwindigkeit von$B$, gesehen von$A$Ist$\mathbf{v}_B=\mathbf{v}\left(t'\right)=d\mathbf{r}_B/dt'$, und seine Position ist$\mathbf{r}_B$, Deshalb$B$-s Weltlinie ist:

$${x'}_B^\mu \left(t'\right) ={x'_1}^\mu + \left(ct',\mathbf{r}_B\left(t'\right)\right)^\mu,\quad \mathbf{r}_B\left(0\right)=\mathbf{r}_B\left(\tau_{A@2}\right)=\mathbf{0}$$

Was ist die Bogenlänge von$B$?

$$c\tau_{B@2}=\int_{0}^{\tau_{A@2}} \sqrt{c^2 \left(dt'\right)^2-\left(d\mathbf{r}_B\right)^2}=\int_{0}^{\tau_{A@2}} dt'\,\sqrt{c^2 -\left(\mathbf{v}_B\right)^2}$$

Jetzt sollten Sie sehen, dass jede Geschwindigkeit ungleich Null ist$\mathbf{v}_B$auf dem Weg von$B$wird zu einer Reduzierung führen$\tau_{B@2}$, also es sei denn$B$ist in Ruhe relativ zu$A$, die Zeit$\tau_{B@2}$wird kleiner sein als die von$\tau_{A@2}$wenn sie sich wiedersehen.

Das ist das Zwillingsparadoxon gelöst.$x_1$treffen sich die beiden Zwillinge zum ersten Mal,$x_2$treffen sie sich wieder und vergleichen die Uhren.

Nachtrag

Es scheint viele Fragen zu "beschleunigten Referenzrahmen" zu geben. Ich werde versuchen, es anzusprechen, aber gerne korrigiert werden. Eine angemessene Referenz dazu ist Kapitel 6 „Accelerated Observers“ von Misner, Thorne, Wheeler Gravitation (erster Teil des Buches ist über die Spezielle Relativitätstheorie).

Was meinen wir also mit Referenzrahmen? Es scheint, dass die Definition von Wiki angemessen ist:

Ein Rahmen an einem Punkt x ∈ X ist eine geordnete Basis für den Vektorraum Ex

der Schlüssel hier ist diese Basis von Vektoren. Angenommen, Sie haben ein Objekt, das sich mit einer möglicherweise nicht konstanten Geschwindigkeit relativ zum Laborrahmen bewegt. Die Weltlinie ist$x^\mu=x^\mu\left(\tau\right)$, Wo$\tau$ist die richtige Zeit. Betrachten Sie einen Punkt$x^\mu_1=x^\mu\left(\tau_1\right)$. An diesem Punkt können Sie immer die Tangente an die Weltlinie erkennen,$u_1^\mu=\left(dx^\mu/d\tau\right)_{@\tau_1}$. Dies ist als Vier-Geschwindigkeit bekannt, aber der Name ist nicht wichtig. Sobald Sie die Vierergeschwindigkeit haben, können Sie drei weitere Vektoren finden, die senkrecht dazu stehen, und diese Tetrade von Basisvektoren nennen$\hat{\tau}^\mu=u^\mu/c,\,\hat{x}^\mu,\,\hat{y}^\mu,\,\hat{z}^\mu$ermöglicht es Ihnen, jeden Vektor an diesem Punkt auszudrücken$x^\mu_1$. Als Nächstes könnten Sie versuchen, vier Sätze gerader Linien parallel zu Ihren Basisvektoren zu zeichnen, um so etwas wie das weiße Gitter auf dem Bild unten zu erhalten, jedoch in 4D.

Das ist nett, aber Sie müssen bedenken, dass Sie dieses Gitter aus einer einzigen Tangente an einem bestimmten Punkt generiert haben . Erhalten Sie das gleiche Gitter, wenn Sie an einer anderen Stelle eine Tangente an die Weltlinie verwenden? Für träge Beobachter werden Sie - ihre Weltlinien sind gerade. Für beschleunigte Beobachter werden Sie dies nicht tun - ihre Weltlinien sind gekrümmt . Um auf die Definition des Rahmens zurückzukommen, haben verschiedene Punkte auf der Weltlinie für beschleunigte Beobachter unterschiedliche Rahmen, dh unterschiedliche Basisvektoren.

Sie können so tun, als ob die gekrümmte Linie tatsächlich gerade ist, aber nur, wenn Sie Ihr Interesse auf die Region beschränken, in der die Krümmung der Weltlinie zu gering ist, um sie zu bemerken. In diesem Sinne kann man für einen beschleunigenden Beobachter vom Ruhesystem sprechen, aber es ist lokal .

Ein anderer Ansatz besteht darin, einen globalen Referenzrahmen zu haben, aber Ihr sich beschleunigender Beobachter wird in diesem Rahmen nur für kurze Zeit ruhen. Dies wäre der momentane Ruherahmen. Ich bevorzuge den zweiten Ansatz.

Wie würde dasselbe Raum-Zeit-Diagramm aussehen, wenn der reisende Zwilling noch weiter von der Erde entfernt beschleunigen würde? Ich glaube, dass die Gleichzeitigkeitslinien, anstatt weiter auseinander zu liegen (wie im Originalfall), noch enger zusammenrücken würden, mehr oder weniger wie in der folgenden Zeichnung:

Nun, die Antwort ist einfach: Je mehr sich die Weltlinie nach rechts neigt, desto mehr neigt sich die Gleichzeitigkeitslinie nach oben. Ich kann das auf deinem Bild sehen, also ist es richtig.

Da Ihre Zeichnung korrekt ist, nimmt der reisende Beobachter die Uhr des anderen Beobachters während der Beschleunigung als langsamer wahr (das deuten die Gleichzeitigkeitslinien an). Es kommt auf die Beschleunigungsrichtung an.

Niedrige Uhr ist langsam. Welche Uhr ist die schnellste in einem beschleunigten Körper? Ich meine, in einem sich beschleunigenden Referenzrahmen ist eine niedrige Uhr langsam.

Verwechseln Sie die sich ändernde Ebene der Gleichzeitigkeit nicht mit der Zeitdilatation: Sie sind unterschiedlich.

Die Lorentz-Transformation vom Raumschiff zurück zur Erde sieht so aus:

$$t = \gamma(t' + \frac{vx'}{c^2})$$

Zeitdilatation ist:

$$\frac{dt}{dt'} = \gamma$$

und hängt nur von der Relativgeschwindigkeit ab.

Die Ebene der Gleichzeitigkeit ist unabhängig von$\gamma$, und ist definiert durch:

$$c^2t' + vx' = {\rm const.}$$

Wenn die Umkehrung zu einem Zeitpunkt erfolgt:

$$t = \frac L v$$

auf der Erde, dann vor / nach dem Umdrehen das "Jetzt" des Raketenzwillings zurück auf der Erde (im Erdrahmen) geht von:

$$\frac L v - \frac{v(v\frac L v)}{c^2}= \frac L v(1-\beta^2)= \frac L v \frac 1{\gamma^2}$$

Zu

$$\frac L v - \frac{-v(v\frac L v)}{c^2}= \frac L v(1+\beta^2)= \frac L v(2-\frac 1{\gamma^2})$$

was genau die "fehlende Zeit" erklärt, so der raumreisende Zwilling.

Das war für eine sofortige Beschleunigung, die zu einem plötzlichen Wechsel in der Ebene der Gleichzeitigkeit führt. Wenn Sie es aus einem Zeitraum von ziehen$\delta t$mit Beschleunigung$a$, können Sie es wie Pseudo-Gravitations-Zeitdilatation aussehen lassen; lass dich davon nicht täuschen. Es ist keine Zeitdilatation, es ist eine Änderung in der Ausrichtung der Uhr aufgrund einer sich ändernden Hyperebene der Gleichzeitigkeit.

Die Hauptursache ist, dass es, wenn der Raketenzwilling weit von der Erde entfernt ist, keine eindeutige Möglichkeit gibt, "jetzt" auf der Erde zu definieren; in fester Entfernung,$L$, es hängt von der lokalen Geschwindigkeit des Beobachters ab und kann variieren$t_0\pm L/c$Wo$t_0$ist die Zeit im Ruhesystem der Erde.

Alles, was Sie wirklich wissen müssen, um das Zwillingsparadoxon zu verstehen, ist, dass Uhren (einschließlich biologischer Uhren) die Längen ihrer Weltlinien messen und verschiedene Weltlinien, die bei denselben Ereignissen (Raumzeitpunkten) beginnen und enden, unterschiedliche Längen haben können, wenn sie es sind verschiedene Formen.

Das Zeichnen von Gleichzeitigkeitsebenen ist keine Hilfe bei der Lösung von Zwillingsparadoxproblemen. Wenn Sie in einem euklidischen Flugzeug in zwei Autos auf zwei verschiedenen Routen von Punkt A nach B fahren, können die Tageskilometerzähler am Ende unterschiedliche Gesamtentfernungen anzeigen. Sie könnten Ebenen senkrecht zum Weg jedes Autos zeichnen und sich ansehen, wo sie den Weg des anderen Autos schneiden. Wenn ein Auto abbiegt, dreht sich die Senkrechte um den gleichen Winkel und kann über einen großen Teil des Weges des anderen Autos streichen, und man könnte sagen, dass sich der Tageskilometerzähler des anderen Autos "während der Kurve" um diese Länge ändert. Wenn Sie aufpassen, erhalten Sie am Ende sogar die richtigen Tageskilometerstände, weil die euklidische Geometrie in sich konsistent ist. Aber daraus lernt man nichts. Es stimmt einfach nicht, dass es am anderen Auto einen korrekten Matching-Punkt gibt. s-Spur, die Sie durch diese oder jede andere geometrische Konstruktion finden können. Die beiden Autos nahmen einfach unterschiedliche Wege, Ende der Geschichte.

Wenn Sie diese Senkrechten wirklich in Raumzeitdiagrammen zeichnen möchten, können Sie die Tatsache nutzen, dass Ihre Weltlinie eine Neigung hat$m$dann hat die senkrechte Gleichzeitigkeitsebene eine Steigung$1/m$. Dies ähnelt der euklidischen Geometrie (wo die senkrechte Neigung ist$-1/m$), aber mit einem Vorzeichenwechsel, wie es bei diesen Dingen oft der Fall ist.