GPS-Satellit - Spezielle Relativitätstheorie

Ich arbeite gerade an einer alten Relativitätstheorieaufgabe und wurde gebeten, die Zeitdilatation für einen Satelliten zu berechnen, der die Erde in 12 Stunden in 26000 km Entfernung von der Oberfläche umkreist und sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt. Der angegebene Radius der Erde beträgt 6400 km. In den Lösungen hat der Autor die vom Satelliten zurückgelegte Geschwindigkeit berechnet 3.24 × 10 7 × 2 π 12 × 3600 MS − 1 ≃ 4500 MS − 1 . Ich bin mit der Berechnung einverstanden (wenn ich irgendwo mit den Zahlen falsch liege, macht es mir nichts aus). Was ich nicht so gut finde, ist, dass sie weiterhin verwendet wurden v = 4500 in der Formel γ = 1 1 − v 2 C 2 , die zur Berechnung der Zeitdilatation benötigt wird. Soweit mir bekannt ist, gilt diese Formel nur für Beobachter, deren Relativgeschwindigkeit ist v . In diesem Fall jedoch, in dem sich ein Beobachter auf der Erdoberfläche und ein Satellit, der sich kreisförmig um den Erdmittelpunkt bewegt, befinden, ist ihre Relativgeschwindigkeit nicht konstant!

Haben Sie den Grad des Unterschieds herausgefunden (Hinweis: er ist nicht trivial, aber nicht besonders groß)? Haben Sie darüber nachgedacht, über die größten und kleinsten zu mitteln? γ das könnte daran liegen? Wie groß wird der Unterschied im Endergebnis sein?
Ich habe mich tatsächlich so verwirrt, dass ich meine ursprüngliche Frage nicht verstanden habe! Ich bin nicht mehr davon überzeugt, dass überhaupt ein Unterschied besteht, da die relative Größe der Geschwindigkeit konstant ist. Aber jetzt habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, welchen Unterschied du meinst! Tut mir leid, dass ich so verwirrend bin
Die Relativgeschwindigkeit kann sich ändern. Ändert sich tatsächlich . Aber selbst am Äquator beträgt die Geschwindigkeit des Beobachters weniger als 500 m/s relativ zum Erdmittelpunkt, so dass der Bereich der Relativgeschwindigkeiten zwischen 4000 und 5000 m/s liegt. Berechnen Sie die γ für jedes davon und fragen Sie sich, ob es darauf ankommt. (Verwenden Sie die binomiale Annäherung für Gamma oder ein Berechnungstool mit vielen Zahlen.)

Antworten (1)

Die Zeitdilatation aufgrund der Bewegung in einem Kreis relativ zu einem Beobachter im Zentrum ist nur die übliche Lorentz-Zeitdilatation aufgrund der Geschwindigkeit der Bewegung. Wenn Sie interessiert sind, lesen Sie meine Antwort auf Unterscheidet sich die Gravitationszeitdilatation von anderen Formen der Zeitdilatation? Ich habe gezeigt, wie dies aus der Metrik abgeleitet wird.

Jedenfalls ist, wie Sie sagen, die Zeitdilatation relativ zu einem zweiten Beobachter, der sich ebenfalls in Kreisbewegung befindet, eine komplexe Funktion der Zeit, wenn sich die relative Geschwindigkeit der beiden Beobachter ändert. Sie können jedoch die Zeitdilatation für beide Beobachter relativ zum Zentrum berechnen und dann das Verhältnis nehmen, um die durchschnittliche Zeitdilatation (über viele Umlaufbahnen) zwischen Ihren beiden Beobachtern zu erhalten. Wenn wir die Geschwindigkeit des Satelliten darstellen als v S und die Geschwindigkeit des Beobachters auf der Erde als v e , dann ist die Zeitdilatation des Satelliten relativ zur Oberfläche:

(1) T R = γ e γ S = 1 − v S 2 / C 2 1 − v e 2 / C 2

Wenn Sie diese Berechnung versuchen, werden Sie feststellen, dass Ihr Taschenrechner nicht genügend signifikante Zahlen hat, um Rundungsfehler zu vermeiden (na ja, wahrscheinlich zumindest meiner nicht), aber wir können eine Binomialerweiterung zur Annäherung verwenden γ :

γ = 1 1 − v 2 / C 2 ≈ 1 + 1 2 v 2 C 2

oder alternativ:

1 γ ≈ 1 − 1 2 v 2 C 2

Setzen Sie diese Näherungen in Gleichung (1) ein und Sie erhalten:

T R ≈ ( 1 + 1 2 v e 2 C 2 ) ( 1 − 1 2 v S 2 C 2 ) ≈ 1 − v S 2 2 C 2 ( 1 − v e 2 v S 2 )

Wir haben also einen Korrekturfaktor von 1 − v e 2 / v S 2 . In Ihrem Beispiel beträgt die Geschwindigkeit des Satelliten 4500 m / s und die Geschwindigkeit des sich schneller bewegenden Teils der Erdoberfläche (am Äquator) 464 m / s, sodass der Korrekturfaktor etwa 1% beträgt. Die vom Äquator aus beobachtete Zeitdilatation des Satelliten ist etwa 1 % geringer als die vom Erdmittelpunkt aus beobachtete.

Danke für die klare und ausführliche Antwort! Der einzige Teil, den ich nicht verstehe, ist, warum das Verhältnis der beiden γ Faktoren stellt eine durchschnittliche Zeitdilatation dar?
Angenommen, Sie erfinden einige Zahlen zur Veranschaulichung 1 / γ e = 0,8 für die Erdoberfläche und 1 / γ S = 0,6 für den Satelliten. Das heißt, wenn 100 Sekunden für den stationären Beobachter vergehen, vergehen 80 Sekunden auf der Erde und 60 Sekunden auf dem Satelliten. Von der Erde aus gesehen vergehen also 60 Sekunden auf dem Satelliten für 80 Sekunden auf der Erde, und die Zeitdilatation ist daher 60/80, was einfach ist γ e / γ S .
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