Warum hängt GPS von der Relativitätstheorie ab?

Ich lese A Brief History of Time von Stephen Hawking, und darin erwähnt er, dass GPS-Geräte meilenweit entfernt wären, wenn die Relativitätstheorie nicht kompensiert würde. Warum ist das? (Ich bin mir nicht sicher, welche Relativitätstheorie er meint, da ich jetzt mehrere Kapitel voraus bin und mir die Frage gerade kam.)

Ich versuche, meine Quellen dazu zu finden, aber ich habe gelesen, dass Ihr GPS auch dann gut funktionieren würde, wenn Sie die allgemeine Relativitätstheorie nicht berücksichtigen (indem Sie die Uhren vor dem Start verlangsamen), da der Fehler für alle gleich ist Satelliten. Das einzige Problem wäre, dass die Uhren nicht mit dem Boden synchronisiert wären, aber das ist für die Berechnung Ihrer aktuellen Position nicht erforderlich. Kann das jemand bestätigen?
Etwas gefunden: physicalmyths.org.uk/gps.htm kann jemand etwas dazu sagen?
etwas anderes auf derselben Seite gefunden: physical.stackexchange.com/q/17814/3177 (einige Antworten erwähnen dies)
Ich habe mir diese britische Seite eilig angesehen und es scheint einige verrückte "Widerlegungen" der speziellen Relativitätstheorie zu geben, also bezweifle ich, dass diese Seite vertrauenswürdig ist. Es gibt natürlich auch Spinner beim Stack-Austausch ... und auf Wikipedia und in der Wissenschaft und ... mit freundlichen Grüßen,
@JoãoPortela - So funktioniert GPS im Grunde genommen. Jeder GPS-Satellit trägt einen Satz Atomuhren. Ein Standard-GPS-Empfänger trägt nicht einmal eine so präzise Uhr; Es ist billiger, das gleichzeitige Signal von einem weiteren Satelliten zu erhalten, um das Fehlen einer Atomuhr im Empfänger zu kompensieren. Dies funktioniert jedoch nur, wenn bekannt ist, dass der Empfänger selbst in Bezug auf ein sehr genau bekanntes System wie den Boden nahezu stationär ist (ich meine subrelativistische Geschwindigkeiten).

Antworten (5)

Fehlerspanne für die vom GPS vorhergesagte Position ist fünfzehn m . Das GPS-System muss also die Zeit mit einer Genauigkeit von mindestens halten fünfzehn m / c das ist ungefähr 50 ns .

So 50 ns Fehler in der Zeitmessung entspricht fünfzehn m Fehler bei der Entfernungsvorhersage.
Daher z 38 μs Fehler in der Zeitmessung entspricht 11 km Fehler bei der Entfernungsvorhersage.

Wenn wir dann keine Korrekturen mit GR auf GPS anwenden 38 μs Fehler in der Zeitmessung werden pro Tag eingeführt .

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie die folgenden Formeln verwenden

T 1 = T 0 1 − v 2 c 2 ... Uhr läuft relativ langsamer, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt.

T 2 = T 0 1 − 2 G M c 2 R ...die Uhr läuft wegen der schwachen Schwerkraft relativ schneller.

T 1 = 7 Mikrosekunden/Tag

T 2 = 45 Mikrosekunden/Tag

T 2 − T 1 = 38 Mikrosekunden/Tag

Verwenden Sie die in diesem sehr guten Artikel angegebenen Werte .

Und für Gleichungen siehe HyperPhysics .

Stephen Hawking hat also Recht! :-)

Ist R der Radius der Erde oder der Radius der Umlaufbahn?
Aber was für GPS relevant ist, ist der Unterschied zwischen Zeitstempeln von verschiedenen Satelliten, richtig? Und da sie auf der gleichen Höhe sind, sollten sie um den gleichen Betrag zeitverschoben sein, also sollten die Unterschiede im Grunde die gleichen sein wie ohne Relativitätstheorie. Ich meine, es spielt keine Rolle, wie groß der Fehler in den Uhren nach einem Tag ist, da sich der Lokalisierungsfehler nicht kumuliert, weil die Uhren der Satelliten nicht voneinander wegdriften.
Wie in dieser Antwort erwähnt , ist es wichtig zu beachten, dass die angegebenen Werte dem Unterschied zwischen den Faktoren auf der Erde und im Orbit entsprechen - was bedeutet, dass die Ausdrücke für T 1 und T 2 wie angegeben werden nicht zu den angegebenen Werten ausgewertet, obwohl die angegebenen Werte korrekt sind. Hut ab vor Michael Seifert, der darauf hingewiesen hat.
Wie hast du 50 Nanosekunden aus 15 m/c bekommen? Für mich gibt es 15/300000000 = 100 Mikrosekunden.
@Dims 15/300000000 != 100*10^(-6), es entspricht 5*10^(-8). Ich habe meine Antwort erhalten, indem ich sie einfach in Google eingetippt habe, aber es sollte leicht zu erkennen sein, dass 15 geteilt durch 3 eine führende 5 sein wird, keine führende 1.
Hier gibt es viele Fehlinformationen. Gemäß dem US Naval Observatory (den Schöpfern von GPS als Ersatz für LORAN): GPS verwendet KEINE Relativitätsberechnungen (wiederholen Sie, es verwendet KEINE Relativitätsberechnungen).
@ MC9000 - Dies ist eigentlich ein weit verbreitetes Missverständnis über GPS. Siehe zum Beispiel hier . Der Punkt ist, dass anstelle von Berechnungen, die direkt auf der Allgemeinen Relativitätstheorie basieren, viel einfachere Korrekturen verwendet werden, um diese anzunähern, solange sich der Empfänger nur langsam auf der Oberfläche des Planeten bewegt.
@JirkaHanika Der Schlusssatz dieses Papiers ist interessant: „Kurz gesagt, es gibt keine ‚fehlenden Relativitätsbegriffe‘. Sie heben sich auf."

Es gibt den Artikel der Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html , der ziemlich gut erklärt, warum die Uhren auf einem GPS-Satelliten jeden Tag um etwa 38 Mikrosekunden schneller sind . Der Artikel behauptet dann, dass eine Nichtkompensation für diese 38 Mikrosekunden pro Tag dazu führen würde, dass ein GPS um etwa 11 km pro Tag abweicht, was einfach unbrauchbar ist, und behauptet, dass dies (die Tatsache, dass wir die 38 Mikrosekunden kompensieren müssen, um das GPS zum Laufen zu bringen ) ist ein Beweis für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Das Problem ist, dass, obwohl die Uhren tatsächlich um 38 Mikrosekunden pro Tag abweichen und die Allgemeine Relativitätstheorie in Ordnung ist, wir das eigentlich nicht kompensieren müssten. Das GPS in Ihrem Auto oder Ihrem Telefon hat keine Atomuhr. Es hat keine Uhr, die genau genug ist, um mit GPS zu helfen. Es misst nicht, wie lange das Signal brauchte, um von Satellit A zu GPS zu gelangen. Es misst die Differenz zwischen dem Signal von Satellit A und dem Signal von Satellit B (und zwei weiteren Satelliten). Das funktioniert, wenn die Uhren schnell gehen: Solange sie alle genau gleich schnell sind, erhalten wir immer noch die richtigen Ergebnisse.

Das heißt, fast. Satelliten stehen nicht still. Wenn wir uns also auf eine Uhr verlassen, die 38 Mikrosekunden pro Tag vorgeht, führen wir die Berechnungen basierend auf der Position eines Satelliten durch, der um 38 Mikrosekunden pro Tag abweicht. Der Fehler ist also nicht (Lichtgeschwindigkeit mal 38 Mikrosekunden mal Tage), sondern (Satellitengeschwindigkeit mal 38 Mikrosekunden mal Tag). Das sind etwa 15 cm pro Tag. Nun, Satellitenpositionen werden einmal pro Woche korrigiert. Ich hoffe, niemand denkt, wir könnten die Position eines Satelliten für lange Zeit fehlerfrei vorhersagen.

Zurück zur ursprünglichen Annahme, dass der Fehler ohne Kompensation 11 km pro Tag betragen würde: Die Satellitenuhren werden mit einem Faktor knapp 1 multipliziert, damit sie mit der richtigen Geschwindigkeit laufen. Aber das würde nicht funktionieren. Der Effekt, der 38 Mikrosekunden pro Tag erzeugt, ist nicht konstant. Wenn der Satellit über einem Ozean fliegt, ist die Schwerkraft geringer. Die Satellitengeschwindigkeit ändert sich ständig, weil der Satellit nicht auf einem perfekten Kreis um eine perfekt runde Erde aus perfekt homogenem Material fliegt. Wenn GR unkompensiert einen Fehler von 11 km pro Tag verursacht, dann ist es ziemlich unvorstellbar, dass eine einfache Multiplikation der Taktgeschwindigkeit gut genug wäre, um diesen zu reduzieren, um GPS nutzbar zu machen.

Nett. Aber ich muss sagen, dass aus der philosophischen Position eines Experimentators heraus eine Maschine, die ihre Bediener dazu bringt, sich die Haare auszureißen (was GPS ohne GR tun würde), nicht funktioniert, bis diese Verhaltensweisen verstanden werden (was passieren würde wenn jemand GR erfunden hat, um die Anomalie zu erklären). Aber das ist ein philosophischer Punkt.
Dies ist die einzig richtige Antwort auf dieser Seite. GPS war ein wichtiger Beweis für GR, weil wir die Geschwindigkeit von Uhren im Orbit mit denen auf der Erde vergleichen können. Die Genauigkeit des GPS-Systems hängt jedoch nicht davon ab, ob die Satelliten die genaue Zeit halten. Solange sie die gleiche Zeit einhalten, funktioniert das System.
Tatsächlich ist GPS aus dem von Ihnen angegebenen Grund ein schlechter "Beweis" für GR. Gnasher hat die richtige Antwort - Einstein-Feldgleichungen werden in GPS überhaupt nicht verwendet (stellen Sie sich vor, die damit verbundene Zahlenverarbeitung und die erforderliche Computerleistung verschwenden all diese Energie - ganz zu schweigen von dem zusätzlichen Gewicht der Satelliten - insbesondere vor einigen Jahrzehnten).
Es ist wahr, dass zur Bestimmung der Position des GPS-Empfängers relativ zu den Satelliten lediglich die Synchronisierung der Satellitenuhren und die gleiche Übertragungsgeschwindigkeit erforderlich ist. Aber das ist relativ zu den Satelliten. Der Benutzer möchte, dass der GPS-Empfänger berechnet, wo er sich auf der Erde befindet, was eine Berücksichtigung dessen erfordert, wo sich die Satelliten im Orbit befinden und wie sich die Erde gedreht hat. Aus diesem Grund müssen die Satellitenuhren mit den Uhren am Boden synchronisiert werden und werden so eingestellt, dass sie synchronisiert bleiben.
@ MC9000: Niemand hat jemals behauptet, dass die Einstein-Feldgleichungen im laufenden Betrieb von den Computern der GPS-Satelliten gelöst werden. Die Geometrie der erdnahen Raumzeit wird durch die Schwarzschild-Raumzeit gut genug angenähert, sodass eine erneute Lösung der Feldgleichungen nicht erforderlich ist. Insbesondere die Zeitdilatation in Schwarzschild wird durch recht einfache Formeln beschrieben, sodass erst gar keine umfangreiche Zahlenverarbeitung nötig wäre.
FYI Die folgende Antwort auf eine verwandte Frage unterstützt die obige: physical.stackexchange.com/a/17827/47421

Das können Sie ausführlich in der hervorragenden Zusammenfassung hier nachlesen: What the Global Positioning System Tells Us about Relativity?

Kurzgesagt:

  1. Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass Uhren in einem höheren Gravitationsfeld langsamer gehen. Das heißt, die Uhr an Bord der GPS-Satelliten "klickt" schneller als die Uhr auf der Erde.
  2. Außerdem sagt die spezielle Relativitätstheorie voraus, dass eine sich bewegende Uhr langsamer ist als eine stationäre. Dieser Effekt wird also die Uhr im Vergleich zu der auf der Erde verlangsamen.

Wie Sie sehen, wirken in diesem Fall die beiden Effekte in entgegengesetzter Richtung, aber ihre Größe ist nicht gleich, heben sich also nicht gegenseitig auf.

Nun ermitteln Sie Ihre Position, indem Sie das Zeitsignal mehrerer Satelliten vergleichen. Sie sind unterschiedlich weit von Ihnen entfernt und es dauert dann unterschiedlich lange, bis das Signal Sie erreicht. Daher unterscheidet sich das Signal von "Satellit A sagt gerade, es ist 22:31:12" von dem, was Sie im selben Moment von Satellit B hören . Aus der Zeitdifferenz des Signals und der Kenntnis der Satellitenpositionen (Ihr GPS weiß das) können Sie Ihre Position am Boden triangulieren.

Wenn man die unterschiedlichen Taktraten nicht kompensiert, wäre die Entfernungsmessung falsch und die Positionsschätzung könnte Hunderte oder Tausende von Metern oder mehr abweichen, was das GPS-System im Wesentlichen unbrauchbar macht.

Der Effekt der Gravitationszeitdilatation kann sogar gemessen werden, wenn man von der Erdoberfläche in eine Umlaufbahn um die Erde geht. Da GPS-Satelliten die Zeit messen, die ihre Nachrichten benötigen, um Sie zu erreichen und zurückzusenden, ist es wichtig, die Echtzeit zu berücksichtigen, die das Signal benötigt, um das Ziel zu erreichen.

GPS-Signale kehren nicht zum Satelliten zurück, sie gehen nur zum Empfänger AFAIK ...
Ja, ich glaube, Sie haben recht, schrieb ich, ohne groß über das eigentliche Verfahren nachzudenken.
Aber der Hauptpunkt gilt immer noch, und es ist, dass mehr Zeit auf der Uhr des Satelliten vergeht als auf Ihrer Uhr auf der Erde, in Bezug auf einen von Ihnen.
Interessanterweise wird die allgemeine Relativitätstheorie per se nicht in Berechnungen für GPS-Systeme verwendet. Vielmehr ist es ein netter kleiner Trick mit spezieller Relativitätstheorie (Anwenden einer Reihe von Lorentz-Transformationen in infinitesimalen Schritten). Dies erweist sich als ausreichend genau und rechnerisch viel einfacher.
Sie können die Zeitdilatation erkennen, indem Sie nur ein paar Tage in den Bergen verbringen. leapsecond.com/great2005/index.htm
@endolith : ... wenn du eine Atomuhr mitbringst !

Ich glaube nicht, dass GPS "von der Relativitätstheorie abhängt" in dem Sinne, dass eine technologische Zivilisation, die die spezielle/allgemeine Relativitätstheorie nie entdeckt hat, nicht in der Lage wäre, ein funktionierendes GPS-System herzustellen. Sie können die Uhr in einem Satelliten immer mit Uhren am Boden vergleichen und die Rate anpassen, bis sie nicht mehr synchron sind, unabhängig davon, ob Sie verstehen, warum sie nicht mehr synchron sind. Tatsächlich synchronisieren sie sie empirisch, nicht indem sie blind einer theoretischen Berechnung vertrauen.

Die Frage, was passieren würde, wenn die Uhren um 38 μs/Tag driften (aus welchem ​​Grund auch immer), ist eine seltsame kontrafaktische Aussage, da sie darauf hindeutet, dass niemand das System wartet, in welchem ​​​​Fall es vermutlich schnell verschiedenen anderen Problemen nicht-relativistischen Ursprungs unterliegen würde . Wenn jemand einige Teile des Systems synchron hält, müssen Sie wahrscheinlich angeben, welche Teile. Wenn zum Beispiel die Satelliten ihre Positionen in Bezug auf einen sich mit dem Erdmittelpunkt bewegenden Inertialrahmen genau kennen, aber die Ausrichtung der Erde aus der Tageszeit berechnet wird, dann haben Sie einen akkumulierten Positionsfehler von 38 μs Wert der Erdrotation oder ein paar Zentimeter am Äquator pro Tag. Aber wenn die Satelliten ihre Position in Bezug auf ein mitrotierendes Bezugssystem genau kennen, dann wäre der Fehler viel kleiner.

Warum hängt GPS von der Relativitätstheorie ab?
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