Warum wird der GPS-Standort nicht aus der Schwarzschild-Metrik berechnet?

Die allgemein-relativistischen Korrekturen sind zu klein, um eine Rolle zu spielen.

Die Schwarzschild-Metrik hat dimensionslose Ordnungskorrekturen$GM/rc^2$. Hier$G$ist die Gravitationskonstante von Newton,$M$die Masse der Erde,$r$die Entfernung vom Erdmittelpunkt und$c$die Lichtgeschwindigkeit.

An der Erdoberfläche betragen diese metrischen Korrekturen etwa ein Teil von einer Milliarde; weiter oben, in der Nähe der Satelliten, sind sie noch kleiner. Die Christoffel-Symbole, die den geodätischen Pfad des Signals bestimmen, weisen Korrekturen in der gleichen Größenordnung auf.

Das Signal braucht etwa 0,1 s, um vom Satelliten zur Erde zu gelangen, also die GR-Korrektur$\Delta t$wäre in ordnung$10^{-10} s$und die GR-Korrektur in$d$wären etwa 3cm. Dies liegt unter der Genauigkeit des GPS-Systems.

Der Fall, dass sich der GPS-Satellit direkt über dem Kopf befindet, ist leicht analytisch zu lösen. Beginnen Sie mit der Schwartzschild-Metrik

in geometrischen Einheiten wo$G$und$c$sind 1.

Das Signal folgt einem geodätischen Nullpunkt wo$ds=0$. Eine radiale Null-Geodäte erfüllt

das ist eine Differentialgleichung, aus der wir erhalten können$t(r)$als

Die Anfangsbedingungen sind die bei$t=0$Das Signal beginnt bei$r=r_0$, dem Orbitalradius des obenliegenden GPS-Satelliten. Wir haben die eingehende Lösung genommen; als$t$erhöht sich,$r$abnimmt und irgendwann$t=t_E$es trifft auf den GPS-Empfänger auf der Erdoberfläche auf$r=R_E$.

Zum Rechnen$t_E$in Sekunden wiederherstellen$G$und$c$zu bekommen

wo$R_s=2GM/c^2$ist der Schwarzschild-Radius der Erde, der 9,0 mm beträgt.

Geben Sie den Radius ein, in dem die GPS-Satelliten umkreisen,$r_0=20,000$km und der Erdradius$r_E=6400$km finden wir$t_E=0.045333333368$s. Wenn wir die GR-Korrekturen ignorieren, indem wir nehmen$R_s$0 statt 9 mm zu sein, erhalten wir$t_E=0.045333333333$s. Somit verlangsamen die GR-Korrekturen das Signal um 34 Pikosekunden und bewirken, dass die Berechnung der Entfernung zum Satelliten um 1,0 cm abweicht. Eine gute analytische Näherung ist

Korrektur: Das OP wies darauf hin, dass 20.000 km die Höhe der GPS-Satelliten sind, nicht ihr Umlaufradius. Ihr Umlaufradius beträgt damit etwa 26.400 km. Wenn ich die Zahlen wiederhole, bekomme ich a$\Delta t$von 43 Pikosekunden und a$\Delta d$von 1,3 cm.

Ich habe einige allgemeine Anmerkungen zu Prinzipien; Ich habe nicht nach bestimmten Zahlen gesucht, aber diese werden in den Quellen unten sein.

Siehe zunächst Neil Ashbys (frei zugänglichen) Living Reviews in Relativity-Artikel " Relativity in the Global Positioning System ". Ashby ist der größte Name auf diesem Gebiet.

Zweitens, während die "exakten Lösungen" wie Schwarzschild extrem wichtig sind, sind solch schöne mathematische Lösungen nicht immer die praktischsten. Für das Sonnensystem wird es im Allgemeinen nicht mit Schwarzschild usw. beschrieben, sondern mit der „Post-Newtonschen Theorie“, die eine Art mittlere Annäherung zwischen Newton und Einstein darstellt. Dies ist die offizielle Empfehlung der Internationalen Astronomischen Union – siehe Soffel et al. (2003). Speziell für die Erde lässt sich das Gravitationsfeld am besten als Erweiterung in sphärischen Harmonischen modellieren. Bei einem zukünftigen chinesischen Satelliten zum Nachweis von Gravitationswellen wird dies beispielsweise so geschehen. Siehe Lehrbuch von Poisson & Will.

Schließlich könnte man meinen, dass, weil sich die Erde dreht, die Kerr-Metrik beispielsweise eine gute Annäherung sein könnte$r>6500km$. Das Äußere eines rotierenden Körpers entspricht jedoch nicht der Kerr-Metrik auf diese Weise. Siehe auch Hartles Lehrbuch, Kapitel 14 mit dem Titel „A little rotation“, für eine Zwischenannäherung zwischen Schwarzschild und Kerr.