Aufheben spezieller und allgemeiner relativistischer Effekte

Ja, für eine kreisförmige Umlaufbahn bei etwa$1.50$Erdradien, die gravitative und speziell-relativistische Zeitdilatationen heben sich auf. GPS wird mit der statischen Schwachfeldmetrik modelliert (in Einheiten von$c = 1$):

$$-d\tau^2 = -(1+2\Phi)dt^2 + (1-2\Phi)\underbrace{(dx^2+dy^2+dz^2)}_{dS^2},$$ damit wir uns annähern können $$d\tau = dt\sqrt{1+2\Phi-(1-2\Phi)\frac{dS^2}{dt^2}}\approx\left[1+\Phi-\frac{v^2}{2}\right]dt,$$ mit Korrekturen aufgrund gravitativer Zeitdilatation und speziell-relativistischer Zeitdilatation additiv zu dieser Ordnung, da letztere einen Faktor von ergibt $1/\gamma = 1 - \frac{v^2}{2} + \mathscr{O}(v^4)$, während die stationäre Gravitationszeitdilatation einen Faktor von hätte $\sqrt{1+2\Phi} = 1 + \Phi + \mathscr{O}(\Phi^2)$.

Gemäß der obigen Annäherungsreihenfolge tickt jede Uhr auf dem Geoid mit der gleichen Geschwindigkeit, da das Geoid eine Äquipotentialfläche der Summe der Gravitations- und Zentrifugalpotentiale ist (dies wird manchmal Gravitationspotential genannt ). Dieser gemeinsame Faktor ist zufällig$1 - \alpha$, Wo$\alpha \approx 6.9692\times10^{-10}$.

Da die Metrik statisch ist,$\partial_t$ist ein Killing Field, das die Erhaltung der orbitalen spezifischen Energie erzeugt$\epsilon = (1+2\Phi)\frac{dt}{d\tau}$. Wenn wir wollen, dass der Satellit die gleiche Zeitdilatation wie die Uhr auf dem Geoid hat, dann durch Substitution$\Phi$muss eine Konstante sein und muss es folglich auch sein$v$. Mit anderen Worten, es ist nicht möglich, eine Umlaufbahn zu haben, die Änderungen des Gravitationspotentials gegen Änderungen der Geschwindigkeit ausspielt, um die Gesamtzeitdilatation gleich zu halten.

Nun, wenn wir die Erde als kugelsymmetrisch mit Gravitationspotential annähern$\Phi = -\frac{\mu}{r}$, dann ist klar, dass nur kreisförmige Umlaufbahnen betrachtet werden müssen, und die gleiche Tick-Rate-Bedingung$-\Phi + \frac{v^2}{2} = \alpha$gibt$\alpha = \frac{3}{2}\frac{\mu}{r}$, oder$1.50$Erdradien.

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Tatsächlich wird das Gravitationspotential im GPS-Modell als Monopol- und Quadrupolterme angenommen:

$$\Phi = -\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a_1}{r}\right)^2P_2(\cos\theta)\right],$$ Wo $\mu = GM_\text{E} = 3.986004418(9)\times 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$ist der Standard-Gravitationsparameter, $J_2 = 1.0826300\times10^{-3}$ist der Quadrupolmomentkoeffizient, $a_1 = 6.3781370\times10^6\,\text{m}$ist der Äquatorradius, $\theta$ist der übliche Polarwinkel, und $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$ist ein Legendre-Polynom.

Diese Situation ist etwas schwieriger, aber Sie sollten immer noch in der Lage sein, eine Umlaufbahn zu erhalten, die eine enge Übereinstimmung in der Äquatorialebene ergibt.