Dopplerverschiebung für einen gleichmäßig beschleunigenden Beobachter

Question

Dopplerverschiebung für einen gleichmäßig beschleunigenden Beobachter

Sumisu Hiko

Dies wurde im Lehrbuch als Beispiel gegeben.

Ein Beobachter auf einem Raumschiff mit vier Geschwindigkeiten $u$ nähert sich von $x = +\infty$ ein ruhender Stern im Bezugssystem $S$ während er einer konstanten angemessenen Beschleunigung ausgesetzt ist $a > 0$ . Seine Entfernung der engsten Annäherung ist $a^{-1}$ . Der Stern strahlt Licht der Frequenz aus $\omega_{star}$ . Die beobachtete dopplerverschobene Frequenz des Lichts vom Stern ist $\omega(\tau) = \omega_{star}e^{-a\tau}$

Nun, wie haben sie das als Frequenz bekommen? Ich habe versucht, auf den Text zurückzublicken und ein ausführlicheres Beispiel zu finden, aber das war's. Ich kenne die Gleichung für die Doppler-verschobene Frequenz

v_{Ö B S} = v_{S Ö u R C e} \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}} .

$v_{obs} = v_{source}\sqrt\frac{1+\beta}{1-\beta}.$ Ich weiß nur nicht, wie die Entfernung ins Spiel kommt, um die Beispielantwort zu erhalten.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

BMS

Welches Lehrbuch ist das?

Sumisu Hiko

@BMS Dies ist ein Lehrbuch, das von einem Dozenten für spezielle Relativitätstheorie geschrieben wurde

Sumisu Hiko

@Rob Jeffries das Symbol ist nicht Alpha, sondern 'a' steht für die richtige Beschleunigung und ja, Tau ist die richtige Zeit

ProfRob

Die beobachtete Dopplerverschiebung hängt von der Entfernung zur Quelle ab, wenn das Raumschiff nicht direkt auf die Quelle gerichtet ist oder wenn es beschleunigt. Welches Einheitensystem verwendest du wo?

a τ

$a \tau$ ist einheitenlos?

Sumisu Hiko

@Rob Jeffries Umm ... Ich nehme an, Standard? Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht, da wir im Unterricht nicht wirklich über Einheiten sprechen. Für die Distanz gab es im Unterricht etwas gegeben. Die Weltlinie des Schiffes ist

x^{2} - t^{2} = a^{- 2}

$x^2 - t^2 = a^{-2}$ . Ich habe meinen ursprünglichen Beitrag mit einem Bild aus meinen Notizen bearbeitet.

Antworten (1)

Dopplerverschiebung für einen gleichmäßig beschleunigenden Beobachter

@BMS Dies ist ein Lehrbuch, das von einem Dozenten für spezielle Relativitätstheorie geschrieben wurde
@Rob Jeffries das Symbol ist nicht Alpha, sondern 'a' steht für die richtige Beschleunigung und ja, Tau ist die richtige Zeit
Die beobachtete Dopplerverschiebung hängt von der Entfernung zur Quelle ab, wenn das Raumschiff nicht direkt auf die Quelle gerichtet ist oder wenn es beschleunigt. Welches Einheitensystem verwendest du wo? $a \tau$ ist einheitenlos?
@Rob Jeffries Umm ... Ich nehme an, Standard? Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht, da wir im Unterricht nicht wirklich über Einheiten sprechen. Für die Distanz gab es im Unterricht etwas gegeben. Die Weltlinie des Schiffes ist $x^2 - t^2 = a^{-2}$ . Ich habe meinen ursprünglichen Beitrag mit einem Bild aus meinen Notizen bearbeitet.

ProfRob · Answer 1

Verwenden Sie die Standardbeziehung zwischen Beschleunigung in den beiden Referenzrahmen.

dh die richtige Beschleunigung $a$ wird von gegeben

A = γ^{3} \frac{D v}{D T}, γ = \frac{D T}{D τ}

$a = \gamma^3 \frac{dv}{dt}, \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma = \frac{dt}{d\tau}$

\frac{D v}{D τ} = \frac{D v}{D T} \frac{D T}{D τ} = γ^{- 2} A = (1 - v^{2}) A

$\frac{dv}{d\tau} = \frac{dv}{dt} \frac{dt}{d\tau} = \gamma^{-2} a = (1-v^2)a$

Dies kann integriert werden, um zu geben $v$ und daher $\gamma$ als Funktion von $\tau$ .

\int \frac{D v}{1 - v^{2}} = \int A D τ

$\int \frac{dv}{1-v^2} = \int a\ d\tau$ Lassen

v = \tanh (x)

$v = \tanh(x)$ und die Identität verwenden

1 - \tanh^{2} (x) = 1 / \cosh^{2} (x)

$1 - \tanh^2(x) = 1/\cosh^2(x)$

\frac{D v}{D X} = \frac{{cosch}^{2} (X) - {Sünde}^{2} (X)}{{cosch}^{2} (X)} = \frac{1}{{cosch}^{2} (X)}

$\frac{dv}{dx} = \frac{\cosh^2(x) - \sinh^2(x)}{\cosh^2(x)} = \frac{1}{\cosh^2(x)}$ und so wird das Integral

\int D X = \int A D τ

$\int dx = \int a\ d\tau$

{Tanh}^{- 1} (v) = A τ + A,

$\tanh^{-1} (v) = a\tau + A,$ Wo

A

$A$ ist eine Konstante, die durch die Anfangsgeschwindigkeit bestimmt wird.

Lassen $v=v_0$ Wenn $\tau=0,$ somit:

v = Tanh [A τ + {Tanh}^{- 1} (v_{0})]

$v = \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$

Die Dopplerverschiebung kann geschrieben werden als:

ω = ω_{0} (1 - v) γ

$\omega = \omega_0 (1-v)\gamma$

NB: Dieser Ausdruck kommt von hier , wenn die Quelle in Ruhe ist, aber ich denke, dass er nur streng gültig ist, wenn sich die Geschwindigkeit des Beobachters zwischen den Wellenfronten nicht wesentlich ändert. Für optisches Licht erfordert dies, dass (ausdrückt $a$ kurz in SI-Einheiten) $a \ll 10^{24}$ MS $^{-2}$ - was für ein Raumschiff wohl ok ist!

ω = ω_{0} [1 - Tanh [A τ + {Tanh}^{- 1} (v_{0})]] {[1 - {Tanh}^{2} [A τ + {Tanh}^{- 1} (v_{0})]]}^{- 1 / 2}

$\omega = \omega_0\left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\left[1 - \tanh^2[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]^{-1/2}$

ω = ω_{0} [1 - Tanh [A τ + {Tanh}^{- 1} (v_{0})]] cosch [A τ + {Tanh}^{- 1} (v_{0})]

$\omega = \omega_0 \left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\cosh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$ .

Dies ist der allgemeine Ausdruck. Für den speziellen Fall, der vom OP angesprochen wird, haben wir $v_0=0$ . In diesem Fall:

ω = ω_{0} [1 - Tanh (A τ)] cosch (A τ)

$\omega = \omega_0[1 - \tanh(a\tau)]\cosh(a\tau)$

ω = ω_{0} [\frac{cosch (A τ) - Sünde (A τ)}{cosch (A τ)}] cosch (A τ)

$\omega = \omega_0\left[\frac{\cosh(a\tau) - \sinh(a\tau)}{\cosh(a\tau)}\right] \cosh(a\tau)$ Ausdrücken der hyperbolischen Funktionen in Form von Exponentialen:

ω = \frac{ω_{0}}{2} [\exp (A τ) + \exp (- A τ) - \exp (A τ) + \exp (- A τ)] = ω_{0} \exp (- A τ)

$\omega = \frac{\omega_0}{2}[\exp(a\tau) + \exp(-a\tau) - \exp(a\tau) + \exp(-a\tau)] = \omega_0 \exp(-a\tau)$ nach Bedarf.

Eine ähnliche Behandlung findet sich in Cochran 1989 (Abschnitt II), was zum gleichen Ergebnis führt.

Ein nützlicheres Ergebnis erhält man, wenn man feststellt, dass eine Koordinatentransformation der Form

τ^{'} = τ + \frac{{Tanh}^{- 1} (v_{0})}{A}

$\tau^{\prime} = \tau + \frac{\tanh^{-1}(v_0)}{a}$ kann für allgemeine Fälle das Leben erleichtern, da dies auch zum Ergebnis führt

ω = ω_{0} \exp (- A τ^{'})

$\omega = \omega_0 \exp(-a\tau^{\prime})$

Das macht das Leben leichter - zum Beispiel können wir zeigen, dass wir die Standard-Dopplerverschiebung wiedererlangen, wenn $a=0$ , seit $a\tau^{\prime} = \tanh^{-1}(v_0)$ und so

ω = ω_{0} \exp [- {Tanh}^{- 1} (v_{0})] = ω_{0} \exp [- \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + v_{0}}{1 - v_{0}})]

$\omega = \omega_0 \exp[-\tanh^{-1}(v_0)] = \omega_0 \exp\left[-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+v_0}{1-v_0}\right)\right]$

ω = ω_{0} {(\frac{1 + v_{0}}{1 - v_{0}})}^{- 1 / 2} = ω_{0} (1 - v_{0}) [(1 + v_{0}) (1 - v_{0})]^{- 1 / 2} = ω_{0} (1 - v_{0}) γ .

$\omega = \omega_0\left( \frac{1+v_0}{1-v_0}\right)^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)[(1+v_0)(1-v_0)]^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)\gamma\ .$

Rob Jeffries: „ Die Dopplerverschiebung kann geschrieben werden als: $ω = ω_{0} (1 - v) γ .$ $\omega = \omega_0~(1 - v)~\gamma.$ Behaupten Sie, dass diese Beziehung genau gilt, auch wenn $A ≫ C ω_{0}$ $a \gg c~\omega_0$ ? Andernfalls besprechen Sie bitte die von Ihnen verwendete Annäherung. oder (noch besser) verwenden Sie einen exakten Ausdruck für "_die Dopplerverschiebung_" (im Sinne von $\omega_0$ , $v$ Und $a$ ).
@ user12262 Ich glaube, ich weiß, worauf du hinauswillst - vielleicht könntest du erweitern? Ich glaube, der von mir verwendete Ausdruck ist in Ordnung, solange sich die Geschwindigkeit des Beobachters während der Zeit zwischen den Wellenfronten nicht wesentlich ändert. Praktisch bedeutet dies das $a \omega_0^{-1} \ll c$ (NB: In meiner Antwort ist das Einheitensystem so, dass $c=1$ ). Also für optisches Licht mit $\omega_0 \sim 3\times 10^{15}$ S $^{-1}$ , bedeutet dies, dass die gleichmäßige Beschleunigung viel kleiner sein sollte als $10^{24}$ MS $^{-1}$ , was für ein Raumschiff vernünftig erscheint!
Rob Jeffries: " [...] ok, solange sich die Geschwindigkeit des Beobachters während der Zeit zwischen den Wellenfronten nicht wesentlich ändert. " -- Na ja ... ich glaube, dass "Ihr Ausdruck" $ω = ω_{0} (1 - v) γ$ $\omega = \omega_0~(1 - v)~\gamma$ ist auch bei gleichförmiger Bewegung nicht ganz richtig, auch nicht mit $(Δ R \cdot v)^{2} = (Δ R)^{2} (v)^{2};$ $(\Delta \mathbf r \cdot \mathbf v)^2 = (\Delta \mathbf r)^2~(\mathbf v)^2 ;$ aber auch dann nur wenn " $\Delta \mathbf r \cdot \mathbf v$ kehrt sein Vorzeichen zwischen Wellenfronten nicht um". (Es ist natürlich ein separates "Technikerproblem", zu entscheiden, was unter bestimmten Umständen noch als "wahrscheinlich in Ordnung " angesehen werden soll, oder unter anderen.)
Rob Jeffries: „ NB: In meiner Antwort ist das Einheitensystem so $c=1$ " -- Das ist in Ordnung, nehme ich an; meistens seit $1$ unterscheidet sich ausdrücklich von $0$ ; und solange Sie sich von Ausdrücken fernhalten (können), die "Äpfel und Birnen mischen" würden (dh keine Ausdrücke wie " $(a / \omega_0) - (\omega_0 / a)$ ", oder so ähnlich). Aber um konsequent zu sein, sollten Sie daher in jedem Fall jeden Verweis auf die Einheit " entfernen. $\text m$ “ Auch aus deiner Antwort.

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