Raumschiff-Dopplerfrequenz

Ich hoffe sehr, dass meine Annahme richtig ist, dass Sie nur Hilfe brauchen, um zu verstehen, woher eine Gleichung stammt, auf die Sie in Ihrem Buch gestoßen sind, und nicht, dass dies eine Hausaufgabe war, die Sie lösen sollten. Ich unterstütze voll und ganz die Politik hier, die Hausaufgaben der Leute nicht für sie zu erledigen.

Ab dem Startpunkt von

$$w'=w\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\ ,$$

Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch$c$, geben

$$w'=w\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}\ .$$

Als allgemeine Regel gilt, wie durch eine Taylorentwicklung verifiziert werden kann, wenn$\epsilon \ll 1$, Dann

$$\frac{1}{1-\epsilon}\approx 1+\epsilon\ .$$

Bemerken, dass$v/c \ll 1$, wenden wir diese Näherung auf den Ausdruck für an$w'$geben

$$w'\approx w\sqrt{(1+v/c)(1+v/c)}\ ,$$

was, wobei nur Terme unter der Quadratwurzel behalten werden, die erster Ordnung sind$v/c$, gibt

$$w'\approx w\sqrt{1+2\frac{v}{c}}\ .$$

Eine weitere allgemeine Regel, die mit einer Taylorentwicklung verifiziert werden kann, lautet: if$\epsilon\ll 1$, Dann

$$\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\frac{\epsilon}{2}\ .$$

Das Anwenden auf die obige Gleichung ergibt

$$w'\approx w\left(1+\frac{v}{c}\right)\ .$$

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit$1-v/c$und wieder nur Terme behalten, die erster Ordnung sind$v/c$gibt

$$w'\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx w\ .$$

Ein bisschen einfache Algebra ordnet diese Gleichung neu an

$$\frac{w'-w}{w'}\approx \frac{v}{c}\ ,$$

was dasselbe sagt, außer dass verschiedene Symbole als verwendet werden

$$\frac{\Delta w}{w_{Doppler}}=\frac{\Delta u}{c}\ .$$