Aus Sicht des Beobachters im Zug wird das Photon an einem sich bewegenden Spiegel reflektiert. Diese Reflexion erhöht die Energie / den Impuls des Photons (es kann die Geschwindigkeit natürlich nicht erhöhen). Im Zugbezugssystem bewegt sich der Spiegel mit Geschwindigkeit auf den Betrachter zu$v$: wenn das ausgehende Photon Impuls hat$p$, der Zurückkehrende wird Schwung haben

$$p' = p\frac{c+v}{c-v}$$

Hergeleitet wird dies beispielsweise in „Reflection from a moving mirror – a simple derivation using the photon model of light“, Gjurchinovski, European Journal of Physics, 34:1 (2012)

Floris hat Recht, es ändert sich genau so, wie er es aus der Zeitung zitiert. Man muss sich jedoch kein Papier ansehen, um es herauszufinden – es ist ein relativ einfaches physikalisches Problem, wenn man relativistisch denkt. Ich leite es unten ab. Und Sie müssen keinen Impuls einbeziehen (obwohl es äquivalent ist), aber Sie können alles aus der Art und Weise machen, wie sich die Frequenz von einem Trägheitsreferenzrahmen zu einem anderen ändert (dh spezielle Relativitätstheorie und auch wahr in lokalen Trägheitsrahmen in der Schwerkraft).

Die Idee besteht darin, das Problem als zwei Schritte zu betrachten, und somit zwei Änderungen von einem Bezugssystem zu einem anderen. Wir werden zwei Transformationen durchführen. Es ist wichtig, eine nach der anderen zu tun, sonst werden Sie verwirrt.

Wir machen sie Schritt für Schritt, also ist klar, dass es absolut KEINE MAGIE gibt. Nur gerade SR-Transformationen.

ERSTE VERWANDLUNG

Rahmen 1: der Zugruherahmen (TRF). Er bewegt sich relativ zum Spiegel, aber in diesem Rahmen betrachten wir den Zug als ruhend, dh wir stehen auf dem Zug

Sendefrequenz = f

Rahmen 2: der Spiegelauflagerahmen (MRF). In diesem Rahmen betrachten wir es als ruhend.

Da sich die Quelle des emittierten Lichts bewegt, ergibt sich eine Doppler-Verschiebung durch

$f_2$= Häufigkeit in MRF = (1+$\beta$)$\gamma$f == (1+z)f

wobei z die Blauverschiebung ist, dh$\Delta$f/f = (Frequenz in MRF - f)/f,

Und$beta$= v/z

und der Lorentzfaktor$gamma$= 1/$sqrt{(1-\beta^2)}$

wie beide normalerweise beschriftet sind.

Die Gleichung für die Doppler-Verschiebung ist exakt in SR für die Bewegung entlang der Sichtlinie. Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Redshift , wo sich die Gleichungen befinden

1+z = (1+$\beta$)$\gamma$

und wo ich genommen habe$\beta$> 0 für die Blauverschiebung, die wir sehen würden. (Hinweis: Vorsicht, Wiki nimmt das Gegenteil, Sie können es so oder so tun).

VEREINFACHUNG

Beachte, dass 1+z = (1+$\beta$)$\gamma$

kann vereinfacht gelesen werden

1+z =$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

So

$f_2$= f (1+z) (Gl. 1)

oder

$f_2$= f$sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$(Gl. 2)

Das ist also eine einfache Gleichung. Wir werden Gl. 1 und 2 in den nächsten Schritten

ZWEITE TRANSFORMATION

Rahmen 2: Spiegel in Ruhe, das Licht reflektierend, dh Licht emittierend

Frequenz für reflektiertes Licht in Frame 2 = Frequenz in Frame 2 für einfallendes Licht = Frequenz in MRF =$f_2$

Bild 3: Bild des Zuges, wenn wir das Licht zurückbekommen. In diesem Frame sieht der Zug (oder wir, wenn Sie möchten) die Lichtquelle, Frame 2, wie sie sich mit der Geschwindigkeit v nähert

Somit sehen wir bei Frame 3 eine Frequenz$f_3$weiter blau verschoben.

Wir können denselben 1+z-Faktor anwenden, den wir aus Gl. 1 in Gl. 2 oben, zu bekommen

$f_3$=$f_2$ $sqrt{[(1+\beta)/(1-\beta)]}$

und Ersatz für$f_2$wir erhalten (durch Multiplikation der beiden identischen Quadratwurzeln) die empfangene Frequenz am Zug (RFT)

$f_3$= f$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Gl.3)

Das heißt, die empfangene Frequenz am Zug,$f_{RFT}$Ist

$f_{RFT}$= f$[(1+\beta)/(1-\beta)]$(Gl. 4)

Da der Impuls in SR proportional zur Energie und zur Frequenz ist, ist dies die gleiche Gleichung wie in dem von Floris erwähnten Artikel.

Abgesehen davon, dass wir es durch zwei aufeinanderfolgende Lorentz-Transformationen abgeleitet haben, bei denen wir die Gleichung für die Doppler-Verschiebung zweimal verwendet haben, um von einem Frame zum nächsten zu gehen.

Beachten Sie, dass dies der richtige Weg ist. Der Spiegel reflektierte das Licht, und wir behandelten das in seinem Ruherahmen. Keine Notwendigkeit für andere Annahmen. Der Zug empfing das reflektierte Licht und wusste nicht, dass es das Licht war, das er ausstrahlte, er sah nur Licht, das vom Spiegel kam. Es musste also einfach die Transformation durchgeführt werden, um die richtige Frequenz zu erhalten [eigentlich kann der Zug (oder wir im Zug) die Frequenz messen, wir müssten sie nicht berechnen und dann Gl. 4, um unsere Geschwindigkeit in Bezug auf den Spiegel zu berechnen].

ERHALTUNG VON SCHWUNG UND ENERGIE

Beachten Sie, dass das Papier die Erhaltung von Energie und Impuls am Spiegel anwendet. Es heißt auch, dass man ihre etwas komplizierteren Ergebnisse (sie tun es zur Reflexion in einem Winkel, wir hätten es auch tun können, für die vorliegende Frage nicht erforderlich) einfach mit SR erhalten kann. Es muss so sein, und für den einfachen Fall, der in der Frage behandelt wird, ist es sehr einfach. Beachten Sie auch, dass wir die Energieerhaltung nicht beweisen müssen, wir wissen, dass SR Energie spart, wenn es richtig berechnet wird. Einstein und andere haben das bewiesen. Ja, die zusätzliche Photonenenergie musste vom Spiegel kommen, sie änderte auch seinen Impuls durch Richtungsumkehr. Es ist die einzige physische Interaktion.

Energiebilanz bei elastischer Streuung mit Photonen

Compton-Streuung

Betrachten Sie zunächst den Bezugsrahmen$\mathcal{B}$in dem die Plattform ruht .

Ein Photon mit der Frequenz$f^\mathcal{B}$und Schwung$p^\mathcal{B} = \frac{h}{c}f^\mathcal{B}$wird einen Spiegel treffen, der an einem ruhenden Objekt befestigt ist$\mathrm{M}$von Masse$m$. (Sie können sich vorstellen$\mathrm M$die Erde sein.) Die Reflexion überträgt einen Impuls von$S\approx 2p^\mathcal{B}$Zu$\mathrm{M}$. Nach der Kollision das Objekt$\mathrm{M}$wird die Geschwindigkeit haben

$$\Delta v \approx \frac{S}{m} \approx \frac{2h}{mc}f^\mathcal{B}$$ und wird etwas kinetische Energie haben. Um diese Energie zu berücksichtigen, hat das reflektierte Photon eine reduzierte Frequenz $f'{}^\mathcal{B}$. Dieses Phänomen wird als Compton-Effekt bezeichnet und ist für ein makroskopisches Objekt sehr klein $\mathrm{M}$, aber sehr gut beobachtbar, wenn $m$ist etwa die Masse eines Elektrons.

Dies ist nicht die Energieübertragung, an der Sie interessiert sind. Es ist nur

$$\Delta E \approx \frac{m}{2}(\Delta v)^2 \approx \frac{2h^2}{mc^2}f^\mathcal{B} \approx \frac{10^{-83}}{m}f^\mathcal{B}$$ was sehr klein ist - sogar verglichen mit der Energie eines gewöhnlichen Photons ( $\sim 10^{-19}\mathrm J$). Also im Bezugsrahmen $\mathcal{B}$es findet praktisch keine Energieübertragung statt und wir dürfen annehmen $$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$$

Umgekehrte Compton-Streuung

Im Bezugsrahmen$\mathcal{A}$der Zug steht still . Beachten Sie, dass die kinetische Energie nicht unabhängig von der Wahl des Bezugssystems ist . In$\mathcal{B}$das Objekt$\mathrm{M}$ist in Ruhe und hat keine kinetische Energie. In$\mathcal{A}$,$\mathrm{M}$bewegt sich mit der Geschwindigkeit$v$zum Betrachter, hat also etwas kinetische Energie$E_\text{kin}^\mathcal{B}\approx \frac{m}{2}v^2$.

Da die kinetische Energie keine lineare Funktion von ist$v$, aber eine näherungsweise quadratische Funktion, die Energieänderung durch einen Boost$\Delta v$hängt von der Energie ab, die das Objekt hat$\mathrm{M}$hat an erster Stelle. (Beachten Sie, dass$\Delta v$ist in entgegengesetzter Richtung zu$v$. Beachten Sie das weiter$\Delta v$ist in beiden Bezugsrahmen ungefähr gleich.)

$$\Delta E_\text{kin}\approx \frac{m}{2}(v-\Delta v)^2-\frac{m}{2}v^2=\frac{m}{2}(-2v\Delta v + (\Delta v)^2)\approx -mv\Delta v\approx \frac{v}{c}2hf^\mathcal{B}$$

Jetzt gehe ich immer noch davon aus$\frac{m}{2}(\Delta v)^2$ist eine sehr kleine und vernachlässigbare Änderung der kinetischen Energie, wie ich es oben getan habe. Jedoch,$mv\Delta v$kann nicht vernachlässigt werden, wenn$v$liegt in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit, wie Ihr Problem vermuten lässt. Dadurch wird die kinetische Energie von$\mathrm{M}$wird reduziert . Dieser Effekt wird als umgekehrter Compton-Effekt bezeichnet .

Da sich Züge beispielsweise nicht mit einem Zehntel der Lichtgeschwindigkeit bewegen, wird der umgekehrte Compton-Effekt bei Zügen nicht beobachtet, aber er wird bei sich schnell bewegenden Teilchen in Teilchenbeschleunigern beobachtet.

In Ihrem Beispiel das Objekt$\mathrm{M}$verliert etwas kinetische Energie und das Photon gewinnt Energie im Bezugssystem$\mathcal{A}$

Relativistische Dopplerverschiebung

Die Lichtfrequenz in Bezugsrahmen$\mathcal{A}$Und$\mathcal{B}$hängen mit folgenden Formeln zusammen:

Für das Photon, das sich vom Zug zum Spiegel bewegt

$$f^\mathcal B = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f^\mathcal A$$ und für das Photon, das sich vom Spiegel zum Zug bewegt $$f'{}^\mathcal A = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}f'{}^\mathcal B$$

Kombiniere das mit$f'{}^\mathcal{B}\approx f^\mathcal{B}$und schließen

$$f'{}^\mathcal A \approx \frac{c + v}{c - v} f^\mathcal A \approx (1 + 2\frac{v}{c}) f^\mathcal A$$

Daher ist die Änderungsenergie des Photons

$$\Delta E_\mathrm\gamma^\mathcal A = hf'{}^\mathcal A - hf^\mathcal A \approx h\cdot2\frac{v}{c}f^\mathcal A$$

Zusammenfassung

In$\mathcal{A}$etwas kinetische Energie von$\mathrm M$wird auf das Photon übertragen. In$\mathcal B$die Energieänderungen sind vernachlässigbar, aber wenn$m$sehr klein ist, findet eine Energieübertragung vom Photon zum Spiegel statt.

Ähnliche Energieübertragungen finden im Zug statt, wenn Licht emittiert und absorbiert wird. In$\mathcal A$der Lichtstrahl überträgt kinetische Energie ab$\mathrm M$zum Zug. In$\mathcal B$der Lichtstrahl überträgt kinetische Energie vom Zug auf$\mathrm M$.

Ich habe es. Ich dachte, der Zug startet ein Photon im rechten Winkel. Es startet es in Front.

In einfachen Worten betrachtet man ein Photon, das wie in einer Lichtuhr zwischen zwei perfekten Spiegeln hin und her springt. Wenn Spiegel starr befestigt sind, ändert sich die Eigenfrequenz (sagen wir Farbe) des Photons nicht. Wenn die Spiegel nicht starr befestigt sind, überträgt das Photon etwas Energie auf die Spiegel und die Spiegel beginnen, sich voneinander zu bewegen (zurückzuziehen).

Daher wird das Photon bei jeder Schwingung mehr und mehr rotverschoben, wenn sich die Spiegel zurückziehen, weil die Spiegel einen Teil ihrer Energie gewinnen.

Wenn sich Spiegel einander nähern, sogar durch Trägheit, übertragen sie einen Teil ihrer kinetischen Energie auf Photonen. Photon wird sie etwas verlangsamen. Photon gewinnt etwas an Energie und wird bei jeder Schwingung immer bläulicher.

Wenn jemand Spiegel an seinen Händen "naht", muss er etwas tun.

Interessantes Detail ist folgendes: Wenn ein Zug ein Photon rechtwinklig in sein Bezugssystem schießt, wird das Photon am Spiegel auf dem Bahnsteig blauverschoben. Es wird bei der Rückkehr rotverschoben und erscheint in der gleichen Frequenz. In diesem Fall gehen wir davon aus, dass sich Beobachter und Spiegel an parallelen Stellen relativ zueinander bewegen und zwischen ihnen eine Lücke besteht.

Wo ist die Reziprozität der Beobachtungen?