In welchem ​​Verhältnis passen sich Länge und Zeit an, um die Lichtgeschwindigkeit beizubehalten?

Aus Ihrer Sicht scheint Ihr Freund a) langsamer zu altern, als wenn er in Bezug auf Sie in Ruhe ist, und b) in seiner Bewegungsrichtung "abgeflacht". Genauer gesagt sind diese Größen um einen Faktor "aus".$\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, Wo$v$ist die Geschwindigkeit deines Freundes. Dies sind immer die Anpassungen, die vorgenommen werden, um die Lichtgeschwindigkeit zu "erhalten". In deinem Beispiel$\gamma = 2/\sqrt3 \approx1.15$. Die Periode der Uhr Ihres Freundes ist also$1.15$mal so lang wie deine, und ihre Skala ist$1.15$mal kürzer als deine. Tatsächlich ist dies der einzig mögliche Weg, dass$c$kann in allen Bezugsrahmen gleich sein.

EDIT- Hier leite ich die oben erwähnten Formeln für Zeitdilatation und Längenkontraktion ab.

Stellen Sie sich vor, Ihr Freund befindet sich in einem hohen Waggon$L$sich mit Geschwindigkeit bewegen$v$. Angenommen, der Wagen hat Spiegel an der Decke und am Boden und eine Uhr, die jedes Mal tickt, wenn ein Lichtstrahl (der wiederholt vom Boden zur Decke und zurück wandert) auf den Boden trifft. Aus seiner Sicht ist die Zeit Ticks$\Delta t = 2L/c$. Sagen wir jedoch aus meiner Sicht, dass der Wagen eine Strecke zurücklegt$x$zwischen jedem Tick. Dann legt das Licht eine Strecke zurück$\sqrt{x^2+4L^2}$zwischen jedem Tick, und so ist die Periode der Ticks (beachten Sie, dass$x = v\Delta t'$)

$$\Delta t' = \frac{\sqrt{x^2+4L^2}}{c} = \frac{\sqrt{v^2\Delta t'^2+4L^2}}{c}$$ Auflösen für $\Delta t'$gibt uns $$\Delta t' = \frac{2L}{\sqrt{c^2-v^2}} = \frac{2L/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta t$$ was uns die Formel gibt, die ich oben beschrieben habe. Nehmen wir zur Längenkontraktion an, dass ein Teilchen mit der Zeit zerfällt $t$, wobei diese Zeit von ihrem eigenen Bezugssystem aus gemessen wird. Angenommen, es bewegt sich mit einer Geschwindigkeit $v$gegenüber einem Beobachter. Wie wir oben gesehen haben, nimmt das Teilchen für den Beobachter etwas mit $\gamma t$zu verfallen. Es reist also $L' = v\gamma t$zu Lebzeiten aus Sicht des Betrachters. Im Bezugssystem des Partikels legt es jedoch eine Strecke zurück $L = vt$. Somit haben wir $L' = \gamma L$(das heißt, die Umgebung erscheint dem Partikel in Richtung seiner Bewegung "kürzer").