Woher kommen die Naturschutzgesetze?

Der Satz von Noether ist eine Möglichkeit, Erhaltungssätze mit Symmetrien in Beziehung zu setzen, aber es ist nicht die einzige oder notwendigerweise die gebräuchlichste Methode, dies zu tun. Beispielsweise wird in der Quantenmechanik eine kontinuierliche Symmetrie mit einer Familie einheitlicher Operatoren assoziiert$U(\lambda)$die die mit einem Operator verknüpften Eigenwerte verschieben (z. B. der Positionsoperator, in diesem Fall$U(\lambda) \equiv T(\lambda)$übersetzt Staaten durch$\lambda$).

Man kann zeigen, dass ein solcher Operator durch einen selbstadjungierten (hermiteschen) Generator ausdrückbar ist$G$über die Relation$U(\lambda) = e^{iG\lambda}$. Wenn der Hamiltonoperator invariant invariant in Bezug auf diese Transformation ist (d. h$U^\dagger H U = H$oder äquivalent der Kommutator$\left[U, H\right]$verschwindet) Zeitentwicklung ändert die Eigenwerte von nicht$U$. Dasselbe gilt für$G$und als solche die Eigenwerte von$G$(Und$U$) bleiben in diesem Fall erhalten. Für räumliche Übersetzungen$G$ist proportional zum Impulsoperator$p$und Impuls ist die erhaltene Quantenzahl.

Erhaltungsgrößen sind nicht immer Skalare. Momentum ist zum Beispiel ein Vektor.

Als Antwort auf Ihre letzte Frage: Das Auffinden aller Symmetrien eines gegebenen Systems kann ein außergewöhnlich schwieriges Problem sein. Das Auffinden solcher Symmetrien ist eine gängige Methode, um zu versuchen, Vielkörperprobleme in der Quantenmechanik "integrierbar" (exakt lösbar) oder mit numerischen Methoden handhabbar zu machen. Es gibt keine systematische Methode, die allgemein funktioniert. Gelegentlich werden versteckte Symmetrien im Zusammenhang mit bekannten Problemen entdeckt, und das kann eine große Sache sein, wenn es passiert.

Zwei Kommentare:

Ein Erhaltungssatz, der eine Funktion der Freiheitsgrade eines Systems ist, setzt Variablen in Beziehung und schränkt sie dadurch gewissermaßen ein. Mehr unabhängige Erhaltungsgesetze bedeuten mehr Einschränkungen, und je nach System können Sie keine unendlichen Einschränkungen haben, während Sie die Ausbreitung der Variablen aufrechterhalten.

Zweitens ist bei einer solchen Bewegungskonstante (Energie, Impuls) auch jede Funktion davon eine Konstante. ZB die Menge$(\sum_im_iv_i^2)^7$ist konstant wenn$\sum_i\tfrac{1}{2}m_iv_i^2$Ist.

Erhaltungssätze kommen ausschließlich aus Bewegungsgleichungen. Wenn Sie Ihre Lösungen gefunden haben$y_i(t)$als Funktionen der Anfangsdaten$y_i(t|y_k(t_0))$, dann können Sie sie auflösen, um die Anfangsdaten über die "aktuellen Daten" auszudrücken$y_k(t_0)=f_k(y_i)$und jeder dieser Ausdrücke ist ein "Erhaltungsgesetz" - eine Kombination dynamischer Variablen, die zeitlich konstant ist. Der wahre Ursprung der Erhaltungssätze ist also die Existenz von Lösungen von Gleichungen. Die Anzahl der Erhaltungsgrößen ist die Anzahl der unabhängig gegebenen Anfangsdaten, obwohl die Form der Erhaltungsgrößen nicht festgelegt ist - jede Kombination von Erhaltungsgrößen ist eine Erhaltungsgröße. Wir sind meistens mit "additiven" Erhaltungssätzen vertraut, bei denen eine Summe einiger variabler Kombinationen verschiedener Entitäten geschrieben wird.

Symmetrien führen nicht zu Erhaltungssätzen. Sie helfen, einige Erhaltungsgesetze aus dem Lagrange zu konstruieren, und sonst nichts. Im Falle einer Symmetrie kann eine gegebene Erhaltungsgröße eine einfachere Form annehmen, mehr nicht.