Satz von Noether und Satz von Liouville

Question

Satz von Noether und Satz von Liouville

FractalScout

Der Satz von Liouville besagt, dass für Hamiltonsche Systeme das Phasenraumvolumen $V(t)$ ist eine Erhaltungsgröße, dh $\frac{d}{dt}V(t)=0$ . Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass sich Trajektorien im Phasenraum nicht kreuzen und ein Punkt im Phasenraum eine einzigartige zeitliche Entwicklung hat.

Der Satz von Noether sagt uns, dass Erhaltungsgrößen kontinuierlichen Symmetrien/zyklischen Koordinaten entsprechen und umgekehrt.

Meine Frage ist: Was ist die kontinuierliche Symmetrie- / zyklische Koordinate, die der Erhaltung des Phasenraumvolumens entspricht?

rschwieb

V

$V$ ist nur eine Funktion von

t

$t$ , und hat nichts mit den Phasenraumkoordinaten zu tun

(q, p)

$(q, p)$ ?

FractalScout

@rschwieb Es ist das Volumen einer Untermannigfaltigkeit des gesamten Phasenraums, definiert als Integral über Phasenraumkoordinaten.

Antworten (1)

Satz von Noether und Satz von Liouville

$V$ ist nur eine Funktion von $t$ , und hat nichts mit den Phasenraumkoordinaten zu tun $(q, p)$ ?
@rschwieb Es ist das Volumen einer Untermannigfaltigkeit des gesamten Phasenraums, definiert als Integral über Phasenraumkoordinaten.

QMechaniker · Answer 1

Es gibt mehrere Versionen des Satzes von Liouville . Eine Version besagt, dass ein Hamilton-Vektorfeld (HVF) $X_H=\{H,\cdot\}_{PB}$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$ ist divergenzfrei

D ich v X_{H} = 0.

${\rm div} X_{H}~=~0.$ Man kann die obige HVF als zugrunde liegende Symmetrie ansehen.

Satz von Noether und Satz von Liouville

FractalScout

rschwieb

FractalScout

Antworten (1)

QMechaniker

Folgt die Erhaltung des Wronskian aus dem Noether-Prinzip?

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