Erhaltungsladungen als Generatoren von Symmetrien in der Hamiltonschen Mechanik

Ich habe versucht, die Beziehung zwischen erhaltenen Ladungen und Symmetrietransformationen zu verstehen; insbesondere wie die erhaltenen Ladungen als Generatoren für die Symmetrie im Hamiltonschen Formalismus wirken und wie wir bei einer gegebenen erhaltenen Ladung die zugehörige Symmetrie ableiten können. Ich habe gesehen, dass dies als das inverse Noether-Theorem bezeichnet wird.

Hier https://arxiv.org/abs/1601.03616 (Abschnitt 2.2) lautet das Argument wie folgt:

Gegeben eine Erhaltungsladung$Q$mit

$$\frac{dQ}{d t} = 0\tag{1}$$

und eine Transformation, die durch die infinitesimale Änderung der Koordinaten definiert ist, ist:

$$\delta_{s} q^{i}=\left[q^{i}, \epsilon Q\right]=\epsilon \frac{\partial Q}{\partial p_{i}}, \qquad \delta_{s} p_{i}=\left[p_{i}, \epsilon Q\right]=-\epsilon \frac{\partial Q}{\partial q^{i}} ,\tag{2}$$

Die Änderung in der Aktion ist:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \delta I &=\int d t\left(\delta_{s} p \dot{q}+p \frac{d}{d t} \delta_{s} q-\frac{\partial H}{\partial p} \delta_{s} p-\frac{\partial H}{\partial q} \delta_{s} q\right) \\ &=\int d t\left(-\epsilon \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q}+\frac{d}{d t}\left(p \delta_{s} q\right)-\epsilon \dot{p} \frac{\partial Q}{\partial p}+\epsilon \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial Q}{\partial q}-\epsilon \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial Q}{\partial p}\right) \\ &=\int d t\left(\epsilon\left(-\frac{d Q}{d t}+\frac{\partial Q}{\partial t}+[Q, H]\right)+\frac{d}{d t}\left(p \delta_{s} q\right)\right) \\ &=\int d t \frac{d}{d t}\left(-\epsilon Q+p \delta_{s} q\right). \end{aligned}\tag{3} \end{equation}$$

Das verwirrt mich, weil es den Anschein hat, als wäre die Änderung des Lagrange-Operators eine Gesamtzeitableitung, unabhängig davon, ob$Q$eine Konstante der Bewegung ist oder nicht.

$$\frac{\partial F}{\partial t}+[F, H]=\frac{dF}{d t} ,\tag{4}$$

für jede Funktion, also in der vorletzten Zeile, würden nicht alle Begriffe mit einbezogen$Q$aus der Änderung in der Lagrangian verschwinden, selbst wenn$Q$war nicht konstant?

Jede Hilfe wäre willkommen. Ich würde auch gerne etwas Intuition dafür gewinnen, warum gerade die erhaltenen Ladungen Symmetrien erzeugen, selbst wenn die Poisson-Klammer mit dem Hamilton-Operator aufgrund der expliziten Zeitabhängigkeit nicht Null ist.