Ableitung des Trägheitsgesetzes aus der Lagrange-Methode (Landau)

Question

Ableitung des Trägheitsgesetzes aus der Lagrange-Methode (Landau)

Aloisio Macedo

Ich lese Landaus Buch.

Er versucht, aus den Lagrange-Gleichungen auf das Trägheitsgesetz zu schließen.

Dafür argumentiert er (durch schöne Annahmen über Raum und Zeit), dass die Lagrangian nur von der Geschwindigkeit abhängen muss. Genauer gesagt nur auf dem Quadrat der Geschwindigkeit.

Der Punkt ist, da die Lagrange-Gleichungen sind:

\nabla_{X} L + (\nabla_{\dot{X}} L)^{'} \equiv 0

$\nabla_x L+(\nabla_{\dot{x}}L)' \equiv 0$

Das bekommt er $(\nabla_{\dot{x}}L)'\equiv 0$ , was impliziert $\nabla_{\dot{x}}L=constant$ (in der Zeit, entlang der Flugbahn).

Hier ist nun mein Problem: Er kommt zu dem Schluss $\dot{x}$ ist konstant. Wie? Er weiß nichts darüber $L$ , neben den "Symmetrie"-Eigenschaften. Zum Beispiel, $L\equiv 0$ erfüllt alle Eigenschaften, die von einem solchen gefordert werden $L$ , und darauf können wir nicht schließen $\dot{x}$ ist konstant. Tatsächlich wäre jede Kurve in Bezug auf die Aktion extrem.

Was ist denn seine Begründung?

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Benutzer12029 · Answer 1

Du hast Recht.

Um die Bewegungsgleichungen zu finden, haben wir:

\begin{aligned} C_{ich} & = \frac{\partial L (v^{2})}{\partial v_{ich}} \\ = L^{'} (v^{2}) 2 v_{ich} \end{aligned}

$\begin{align*}c_i&=\frac{\partial L(v^2)}{\partial v_i}\\ &=L'(v^2) 2 v_i \end{align*}$

so dass $L'(v^2) v_i$ ist für alle Zeit konstant.

Erstens könnte man sich eine Welt vorstellen, in der alle Wege gehen ${\bf x}(t)$ gültige mechanische Pfade sind. Dann ist die galiläische Transformation eines gültigen mechanischen Pfads auch ein gültiger mechanischer Pfad und respektiert daher die galiläische Relativitätstheorie. (Trivialerweise, weil alle Pfade gültig sind) Dies ist, was passiert, wenn $L'=0$ identisch.

Ein weiterer degenerierter Fall ist z. $L(y)=\sin(y)$ . Dann wenn $v^2=\frac{pi}{2}$ , $L'(v^2)=0$ und der Pfad darf die Richtung nach Belieben ändern.

Ein weiterer entarteter Fall ist when $L(v^2)=\sqrt{v^2}$ . Dann $\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{v_i}{\sqrt{v^2}}$ und zum Beispiel die eindimensionale Bewegung $x(t)=t^2$ erfüllt $\frac{2t}{\sqrt{4 t^2}}$ konstant (z $t>0$ ).

Das wirft also die Frage auf: Was beweist diese Passage von Landau? Glücklicherweise, obwohl ich es mir nicht gründlich angesehen habe, ist der nächste Abschnitt (der das beweist $L\propto v^2$ ) scheint nicht von der Annahme abzuhängen, dass $v={\mathrm{const}}$ für ein freies Teilchen.

Aber es gibt noch ein weiteres Problem: Es bestimmt den Pfad nicht eindeutig. Wir haben eine Familie von Pfaden (nämlich alle mit konstanten $\textbf{v}$ erfüllen das Prinzip). Wie kann ich sicher sein, dass kein anderer Weg mich auch zufrieden stellt?
@AloizioMacedo Entschuldigung, ich habe eigentlich darüber nachgedacht, das zu beheben. Das Ziel der klassischen Mechanik ist die eindeutige Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Ich werde meinen Beitrag aktualisieren.
Tut mir leid, ich habe es nicht verstanden. Was meinen Sie mit der Lagrange-Funktion „Eindeutige Bestimmung der Bewegungsgleichungen“?
@AloizioMacedo stellt sich heraus, dass dies eine sehr nervige Frage ist, die du gestellt hast! Lassen Sie mich wissen, ob meine letzte Änderung "hilft".
Hilft sicher! Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit, wirklich :). Ich fürchte, dass der nächste Abschnitt davon abhängt, dass $v=\text{const}$ für ein freies Teilchen. Ich habe gerade diese Frage gefunden: physical.stackexchange.com/questions/23098/… die meiner ähnlich ist (und sogar andere Zweifel enthält, die ich stellen wollte). Die Antwort scheint darauf zu antworten, aber da ich Noethers Theorem und die anderen an dieser Antwort beteiligten Werkzeuge nicht kenne, werde ich diese Angelegenheit für einige Zeit unterlassen. Ich akzeptiere Ihre Antwort, da Sie meine Frage beantwortet haben. Danke nochmal.

Kyle Kanos · Answer 2

Es folgt von $L$ eine Funktion sein $\propto\dot{x}^2$ . Wenn Sie dies zur Hand haben, bleiben Ihnen zwei Möglichkeiten:

$\left(\nabla_{\dot{x}}L\right)'\sim\left(\dot{x}\right)'=0$ impliziert $\dot{x}=\rm const.$
$L=0$ impliziert $\dot{x}=0=\rm const.$

In jedem Fall erhalten Sie, dass die Geschwindigkeit zeitlich konstant ist (für diesen speziellen Fall freier Teilchen).

$L=0$ bedeutet nicht $\dot{x}=0$ . Eigentlich bedeutet es absolut nichts!
@NeuroFuzzy: Wenn $L$ ist nur eine Funktion von $\dot{x}$ (wie der Autor behauptet), dann sagen $L$ Null ist bedeutet das $\dot{x}$ ebenfalls Null ist (was konstant ist).
Wenn $L=0\cdot \dot{x}^2$ , $\dot{x}$ kann alles sein und befriedigen $L=0$ , und das ist das Problem, auf das das OP kommt.
@NeuroFuzzy: Ich verstehe nicht, wie man das rational argumentieren kann $L=0\cdot\dot{x}^2$ ist eine Funktion von $\dot{x}^2$ (oder irgendetwas), da Ihr konstanter Koeffizient notwendigerweise Null ist.
@ Kyle Kanos $L=0$ ist eine Funktion und hängt nur von ab $\dot{x}$ einfach per Definition: es hängt nicht von den anderen Variablen ab. Auch wenn Sie diesen Fall außer Acht lassen, könnten Sie definieren $L=\sqrt{v^2}$ . Das hängt nur davon ab $v$ und führt, wie von NeuroFuzzy aufgedeckt, zu Lösungen mit Nichtkonstanten $v$ .
@Aloizio: Und die $L=\alpha v$ Lösung wird zu Recht abgelehnt, vgl. diesen Beitrag .

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