Einfache Erklärung, warum Momentum ein Covektor ist?

Können Sie eine einfache, intuitive Erklärung geben (stellen Sie sich vor, Sie sprechen mit einem Schulkind), warum der Impuls mathematisch gesehen ein Kovektor ist? Und warum sollten Sie nicht Masse (Skalar) mal Geschwindigkeit (Vektor) und Impuls (Kovektor) in Ihrem Kopf assoziieren?

Es gab bereits Antworten auf diese Frage, aber sie alle beruhen auf einer ziemlich abstrakten Definition eines Lagrangian (für ein Schulkind schwer zu erklären). Gibt es überhaupt eine Motivation?

Nein, ich glaube nicht, dass Sie das können (ich möchte Ihnen auch dafür danken, dass Sie mich wegen der damit verbundenen Komplexität erschreckt haben, ich habe selbst studiert und hatte keine Ahnung, bevor ich gesucht habe : ), ich denke, sobald Sie aus dem "Normalen" herauskommen "Erklärung, Sie können die Strenge der beteiligten Mathematik nicht vermeiden, das Vermeiden des Langranian macht die Sache für mich persönlich noch schlimmer. Der Langrangian ist leichter zu verstehen als das Folgende.
Schulkinder kennen keine Covektoren

Antworten (1)

Angenommen, Sie üben eine Kraft aus F auf einem Masseteilchen M um es entlang eines Pfades zu bewegen γ . Die dafür erforderlichen Arbeiten sind

W = ∫ γ F ⋅ D X = ∫ γ D P D T ⋅ D X = D D T ∫ γ P ⋅ D X
(Da der Pfad γ und deshalb D X ändert sich im Laufe der Zeit nicht).

Nun ist die geleistete Arbeit ein Skalar; offensichtlich hängt es nicht von Ihrer Wahl der räumlichen Koordinaten ab. Sie fühlen sich nicht doppelt so müde, nachdem Sie dieselbe Kraft auf dasselbe physikalische System ausgeübt haben, das mit unterschiedlichen Koordinaten beschrieben wurde. (Quantitativer ausgedrückt: Wenn Sie einen Motor verwenden, um die Masse zu schieben, können Sie die vom Motor geleistete Arbeit messen, indem Sie sehen, wie viel Energie aus seiner Batterie verbraucht wurde. Offensichtlich "weiß" die Batterie nicht, welches Koordinatensystem Sie verwendet haben .) Und auch die zeitliche Ableitung und das Linienintegral hängen offenbar nicht von der Wahl der Ortskoordinaten ab. Also das Skalarprodukt P ⋅ D X muss auch koordinatenunabhängig sein. Ändert man also Koordinaten so, dass die Zahlenwerte der Komponenten aus D X verdoppeln, dann die Zahlenwerte der Komponenten des Impulses P halbiert werden muss, um dies zu kompensieren. Ort und Impuls transformieren sich also unter Koordinatentransformationen entgegengesetzt (als kontravianter Vektor bzw. Covektor).

Wenn Ihnen das Integral oder die Zeitableitung in dieser Erklärung nicht gefällt, können Sie alternativ die Momentanleistung notieren P = F ⋅ v die Sie auf die Masse anwenden, ist aus dem gleichen Grund ein Skalar, also müssen sich Kraft (die zeitliche Ableitung des Impulses) und Geschwindigkeit (die zeitliche Ableitung der Position) unter Koordinatentransformationen entgegengesetzt transformieren.

Ich stimme dem Geist zu, aber das fühlt sich ein bisschen zu schnell an. Es klingt gefährlich nah an der Aussage, dass in jedem Skalarprodukt natürlich eines der Objekte ein Covektor ist, was eindeutig falsch ist.
@knzhou Das ist ein sehr fairer Punkt. Der Punkt, den ich hervorheben wollte, ist, dass Sie die Arbeit und Leistung direkt mit etwas sehr offensichtlich Nicht-Geometrischem in Verbindung bringen können, wie dem Messwert einer Batterie. Wenn Sie beispielsweise versuchen, die Fläche eines Parallelogramms über zu berechnen A = A ⋅ B , erhalten Sie auch eine skalare Größe, aber anders als im vorherigen Fall ist diese ziemlich eindeutig geometrie-/koordinatenabhängig (wenn Sie "Fläche" durch "Anzahl der Quadrate der Einheitskoordinatenlänge" definieren).
@knzhou Obwohl mir keine einfache intuitive Erklärung einfällt, warum das Argument meiner Antwort nicht auch impliziert, dass die kinetische Energie 1 2 M v ⋅ v ist ebenfalls geometrieunabhängig.
Macht es Sinn, die zeitliche Ableitung aus dem Integral zu ziehen, wie in ∫ γ ( D P / D T ) ⋅ D X = ( D / D T ) ∫ γ P ⋅ D X ? Das Integral auf der rechten Seite ist nicht zeitabhängig.
@WillG Ich gebe zu, dass diese Erklärung ziemlich handgewellt und vielleicht nicht streng genug ist. Aber ich denke, dass die Power-Version etwas solider ist, weil es nur um Momentanmengen geht.
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