Dumme Frage zu Kinematik und Christoffel-Symbolen

Eine interessante "Methode", mit der Sie den Beschleunigungsvektor in Bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem kennen können, besteht nur darin, einige Schlüsselformeln zu erkennen.

1) Gegeben die Metrik eines bestimmten Linienelements eines bestimmten Koordinatensystems. Finden Sie den metrischen Tensor:

$$ds^{2} = g_{\gamma \beta} dx^{\gamma}dx^{\beta}$$

2) Angesichts der "Definition" von Christoffel-Symbolen. Berechnen Sie alle Christoffel-Symbole:

$$\displaystyle \Gamma ^{\alpha} _{\mu \nu} = g^{\delta \alpha} \Big\{ g_{\mu \delta,\nu} + g_{\nu \delta,\mu} - g_{\mu \nu,\delta} \Big\}$$

3) Berechnung der "generalisierten Kraft"-Komponenten:

$$\vec{F} = m\vec{a} = m \Big(a^{\alpha}\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big) = \Big(m a^{\alpha} \Big) \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} = f^{\alpha} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}$$

$$f^{\alpha} = \Big(m a^{\alpha}\Big) = m \Big( \frac{d^{2}x^{\alpha}}{dt^{2}}+\displaystyle \Gamma ^{\alpha} _{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt} \Big)$$

4) Berechnen Sie die "physikalischen Komponenten" des verallgemeinerten (kontravarianten) Kraftvektors und der einheitlichen Basisvektoren für das sphärische Koordinatensystem:

Laut Sotschi, Seiten (19-20) [ https://arxiv.org/pdf/1610.04347.pdf] :

Für einen kontravarianten Vektor gilt:

$$\vec{A} = A^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$$

Nun, die physikalische Darstellung von Basisvektoren (kovarianten) (einheitlichen Basisvektoren) ist:

$$\hat{e}_{\mu}= \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{1}{\sqrt{g_{\mu \mu}}} \equiv \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \frac{1}{h_{\mu}}$$ (Keine Summe ein$\mu$)

Und die physikalische Darstellung für (kontravariante) Komponenten sind:

$$A^{\mu}_{physical} = \sqrt{g_{\mu \mu}} A^{\mu} \equiv h_{\mu}A^{\mu}$$

Dann gilt für die Kraft:

$$\vec{F}_{physical} = m \vec{a}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}f^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big]$$

5) Einstellung$m=1$, dann haben Sie den (physikalischen) Beschleunigungsvektor:

$$\vec{F}_{physical} = 1 \vec{a}_{physical}$$

$$\vec{a}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}a^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big]$$

Zum Beispiel :

1) Wir kennen den metrischen Tensor aus dem Linienelement von Kugelkoordinaten:

$$ds^{2} = dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}sin^{2}(\theta) d\phi^{2} \implies$$

$$g^{spherical}_{\gamma \beta} = Diag (1, r^{2}, r^{2}sin^{2}(\theta))$$

2) Die Christoffel-Symbole ungleich Null sind:

$$\Gamma ^{r}_{\theta \theta} = -r \\ \Gamma ^{r}_{\phi \phi} = -rsin^{2}(\theta) \\ \Gamma ^{\theta}_{\phi \phi} = -sin(\theta) cos(\theta) \\ \Gamma ^{\theta}_{r\theta} = \Gamma ^{\theta}_{\theta r} = \frac{1}{r}\\ \Gamma ^{\phi}_{r\phi} = \Gamma ^{\phi}_{\phi r} = \frac{1}{r} \\ \Gamma ^{\phi}_{\theta \phi} = \Gamma ^{\phi}_{\phi \theta} = cotg(\theta)$$

3) Die verallgemeinerten Kraftkomponenten sind:

$$f^{r} = m\Big( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)$$

$$f^{\theta} = m\Big(\ddot{\theta} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} - sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big)$$

$$f^{\phi} = m\Big(\ddot{\phi} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} + 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big)$$

Dann ist der Kraftvektor:

$$\vec{F} = f^{r}\frac{\partial}{\partial x^{r}} + f^{\theta}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}+f^{\phi}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$$

$$\vec{F} =\Big[ m\Big( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big(\ddot{\theta} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} - sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big]\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big(\ddot{\phi} +2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} + 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big]\frac{\partial}{\partial x^{\phi}}$$

4) Die physikalischen Komponenten und der Vektor sind dann:

$$\vec{F}_{physical} = \Big[\sqrt{g_{\alpha \alpha}}f^{\alpha}\Big] \Big[ \frac{1}{\sqrt{g_{\alpha \alpha}}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \Big] = \sqrt{g_{rr}}f^{r} \frac{1}{\sqrt{g_{rr}}} \frac{\partial}{\partial x^{r}} + \sqrt{g_{\theta \theta}}f^{\theta} \frac{1}{\sqrt{g_{\theta \theta}}} \frac{\partial}{\partial x^{\theta}}+ \sqrt{g_{\phi \phi}}f^{\phi} \frac{1}{\sqrt{g_{\phi \phi}}} \frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$$

$$\vec{F}_{physical}= \Big[ m\Big( \sqrt{g_{rr}}\ddot{r} -\sqrt{g_{rr}} r\dot{\theta}^2 - \sqrt{g_{rr}}rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big]\frac{1}{\sqrt{g_{rr}}} \frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big( \sqrt{g_{\theta \theta}}\ddot{\theta} +\sqrt{g_{\theta \theta}}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} -\sqrt{g_{\theta \theta}} sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{\sqrt{g_{\theta \theta}}} \frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big(\sqrt{g_{\phi \phi}}\ddot{\phi} +\sqrt{g_{\phi \phi}}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} +\sqrt{g_{\phi \phi}} 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big] \frac{1}{\sqrt{g_{\phi \phi}}}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$$

$$\vec{F}_{physical}=\Big[ m\Big( 1 \ddot{r} -1 r\dot{\theta}^2 - 1 rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+ \Big[ m\Big( r \ddot{\theta} +r2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \Big] \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big[ m\Big( \sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)}\ddot{\phi} +\sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)}2\frac{1}{r}\dot{r}\dot{\theta} +\sqrt{r^{2}sin^{2}(\theta)} 2cotg(\theta) \dot{\phi} \dot{\theta} \Big) \Big] \frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$$

5) Einstellung$m=1$, haben wir den bekannten Beschleunigungsvektor in sphärischen Koordinaten:

$$\vec{a}_{physical} =\Big( \ddot{r} -r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)\frac{1}{1}\frac{\partial}{\partial x^{r}}\\+\Big( r \ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial x^{\theta}}\\+\Big( rsin(\theta) + 2sin(\theta)\dot{r}\dot{\phi}+2rcos(\theta)\dot{\phi}\dot{\theta} \Big)\frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial x^{\phi}} \implies$$

$$\vec{a}_{physical} =\Big( \ddot{r} -r\dot{\theta}^2 - rsin^{2}(\theta) \dot{\phi}^{2} \Big)\hat{e}_{r}\\+\Big( r \ddot{\theta} +2\dot{r}\dot{\theta} -r sin(\theta)\cos(\theta)\ddot{\phi}^{2} \Big) \hat{e}_{\theta}\\+\Big( rsin(\theta) + 2sin(\theta)\dot{r}\dot{\phi}+2rcos(\theta)\dot{\phi}\dot{\theta} \Big)\hat{e}_{\phi}$$

Meine Frage ist nun: Wie kann ich die Geschwindigkeits- und Positionsvektoren berechnen?

Der Grund für diese schrecklichen Berechnungen ist einfach, Sie müssen nur ein paar Formeln kennen und wissen, wie man partielle Ableitungen richtig berechnet. Dann erwerben Sie eine leistungsfähige Methode zur Berechnung der Bewegungsgleichungen in beliebigen Koordinatensystemen (auch im ebenen und gekrümmten Raum).