Frage zu "unterschiedlichen" Bewegungsgleichungen in Abhängigkeit von Indizes

Lassen Sie uns die Aktion haben

$$S = \int (\partial_{\mu}h^{\mu \sigma}\partial^{\nu}h_{\nu \sigma} - \Lambda h^{\mu \nu}T_{\mu \nu}) d^{4}x.$$ Zur Bestimmtheit, $$h_{\mu \nu} = h_{\nu \mu} , \quad T_{\mu \nu} = T_{\nu \mu} \neq f(h_{\mu \nu}), \quad h^{\mu \nu} = \eta^{\mu \alpha}\eta^{\nu \beta}h_{\alpha \beta}, \quad \eta^{\mu \nu} = diag (1, -1, -1, -1).$$ Nehmen wir die Variante von $S$von $h_{\mu \nu}$und setze die Oberflächenterme auf Null: $$\delta S = \int \partial_{\mu} \delta h^{\mu \sigma} \partial^{\nu}h_{\nu \sigma} d^{4}x + \int \partial_{\mu}h^{\mu \sigma}\partial^{\nu}\delta h_{\nu \sigma} d^{4}x - \Lambda \int \delta h^{\mu \nu} T_{\mu \nu}d^{4}x =$$ $$= -\int (\partial_{\mu}\partial^{\nu}h_{\nu \sigma}\delta h^{\mu \sigma} + \partial_{\mu}\partial^{\nu}h^{\mu \sigma} \delta h_{\nu \sigma} - \Lambda \delta h^{\mu \sigma} T_{\mu \sigma})d^{4}x.$$ Dann ist es Zeit zu meiner dummen Frage. Die Ausdrücke unter dem Integral sind skalare Form und wir können die Indizes umbenennen. Aber wenn wir die Variation herausnehmen $\delta h^{\mu \sigma}$, alles ist verändert. Ich kann das auf zwei "Wegen" tun: $$\delta S = \int \delta h^{\mu \sigma}(\partial_{\mu}\partial^{\nu}h_{\nu \sigma} + \partial^{\alpha}\partial_{\mu}h_{\alpha \sigma} - \Lambda T_{\mu \sigma})d^{4}x = \int \delta h^{\mu \sigma}(2\partial_{\mu}\partial^{\nu}h_{\nu \sigma} - \Lambda T_{\mu \sigma})d^{4}x \qquad (1)$$ Und $$\delta S = \int \delta h^{\mu \sigma}(\partial_{\mu}\partial^{\nu}h_{\nu \sigma} + \partial^{\alpha}\partial_{\sigma}h_{\alpha \mu} - \Lambda T_{\mu \sigma})d^{4}x . \qquad (2)$$ Indem ich die Variation auf Null setze, erhalte ich andere Bewegungsgleichungen $(1), (2)$. Wo habe ich den Fehler gemacht?