Aktionen, die keine Integrale sind

Bisher war jede Aktion, die ich in der Physik gesehen habe, ein Integral einer Lagrange-Funktion, sei es ein Punktteilchen:

S = ∫ D T   L

oder Felder (relativistisch oder nicht):

S = ∫ D 4 X   L

und so weiter. Autoren rechtfertigen dies normalerweise nicht (und ich sage nicht, dass sie es tun sollten), also frage ich mich: Gibt es Anwendungen von Aktionen, die keine Integrale von Lagrange sind?

Zum Beispiel könnten wir so etwas haben S [ X ( T ) ] = sup { X ˙ ( T ) 2 } , oder Variationen desselben Themas (ich habe nicht herausgefunden, wie ich die Extrema finden kann). Oder kann jede Funktion als Integral geschrieben werden?

Dieser Beitrag (v1) scheint eine Listenfrage zu sein.
@Qmechanic: Haben Sie einen Vorschlag, wie ich die Frage umformulieren könnte? Ich könnte so etwas fragen wie "Sind diese Aktionen nützlich?", aber ich denke, das ist im Wesentlichen dieselbe Frage.
Ich denke, die Form der Aktion in der Feldtheorie ist notwendig, damit die EOM lokal ist.

Antworten (2)

Tatsächlich kann man diskrete Summen anstelle von Integralen als Wirkung betrachten. Beispielsweise kann man eine Aktion des Formulars betrachten

S = ∑ ich = 0 N 1 2 ( ϕ ich + 1 − ϕ ich ) 2 + 1 2 ϕ ich 2
mit ϕ N + 1 = ϕ 0 , ϕ ich ∈ R .Dies ergibt eine 1d-Feldtheorie auf einem diskreten Kreis. Man kann natürlich die Bewegungsgleichung berechnen, die eher eine rekursive Beziehung als eine Differentialgleichung sein wird.

Der Vorteil solcher Modelle zeigt sich nach der Quantisierung. Mit einem diskreten Gitter wird das Pfadintegral zu einem gewöhnlichen Integral, obwohl auf einem Vektorraum mit sehr großer Dimension, und das bedeutet, dass man die Theorie numerisch studieren kann.

Normalerweise interessiert uns nicht die Lösung des Variationsproblems selbst. Wir wollen lediglich ein ordentliches Objekt haben, das es uns erlaubt, Bewegungsgleichungen, Erhaltungsgrößen usw. abzuleiten. Dieses Objekt ist ein Aktionsintegral. Aktionen, die nicht durch ein Integral gegeben sind, führen im Allgemeinen nicht zu Differentialgleichungen, daher ist es einfach nicht interessant.

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