Variation und funktionelle Ableitung einer komplexen Funktion

Ich habe gelernt, dass wir die Variation durchführen müssen, um die funktionale Ableitung zu erhalten. Die funktionale Ableitung ist das Ding neben der Richtung, in die die Variation genommen wird. Zum Beispiel für einige reale Funktionen und Funktionale:

$$F[n] = \int V(\vec{r}) n(\vec{r}) \ d \vec{r}$$ Wir haben die Variante $$\delta F[n; f] = \frac{\partial}{\partial t} \int V(\vec{r}) (n(\vec{r}) + t f(\vec{r})) \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } = \int V(\vec{r}) f(\vec{r}) \ d \vec{r}$$ Daher haben wir die funktionale Ableitung $$\frac{\partial F}{\partial n} = V,$$ Aber wie erstreckt sich dies auf komplexe Funktionen? Ich möchte die Variation (und auch die funktionale Ableitung) der folgenden Funktion finden $$F[\psi,\psi^*] = \int \psi^* \psi \ d \vec{r}$$ Mein Versuch: $$\begin{align*} \delta F[\psi,\psi^*; h,h^*] &= \frac{\partial}{\partial t} \int (\psi^* + t h^*)^* (\psi + t h) \psi \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } \\ &= \int \frac{\partial}{\partial t} (\psi + t h) (\psi + t h) \ d \vec{r} \Big|_{ 0 } = \int h \psi + \psi h \ d \vec{r} \end{align*}$$ Deshalb $$\frac{\delta F}{\delta \psi} = \psi.$$ Mein Gefühl ist, dass dies die falsche Antwort ist, ich sollte stattdessen das Konjugat davon bekommen. Für das andere funktionelle Derivat sollte ich erhalten $$\frac{\delta F}{\delta \psi^*} = \psi,$$ laut meinem Vorlesungsskript, aber es gibt keinen Begriff der Form$h^* \psi$innerhalb des Integrals! Also ich kann es scheinbar nicht fassen. Ist meine Variante falsch, oder ist etwas anderes falsch? Ich habe ein ziemlich hohes Kopfgeld auf diese Frage gesetzt, weil ich das Gefühl habe, dass es eine so wichtige Frage ist. Hoffe auf baldige Aufklärung.