Lagrange-Mechanik und Zeitableitung nach allgemeinen Koordinaten

Question

Lagrange-Mechanik und Zeitableitung nach allgemeinen Koordinaten

Benutzer1285419

Ich lese ein Buch über analytische Mechanik auf Lagrange. Ich bekomme eine ungefähre Vorstellung von der Methode: Wir können beliebige Koordinaten verwenden und die kinetische Energie aufschreiben $T$ und Potenzial $V$ in Bezug auf die allgemeinen Koordinaten, so wird die Lagrange-Funktion angegeben als $L=T-U$ . Sagen wir zum Beispiel, der Lagrange ist

L = \frac{M}{2} {\dot{X}}^{2} + M B \dot{ϕ} \dot{X} \cos ϕ

$L = \frac{m}{2}\dot{x}^2 + mb\dot{\phi}\dot{x}\cos\phi$ Hier

m

$m$ ist die Masse,

b

$b$ ist konstant,

x

$x$ Und

ϕ

$\phi$ sind die allgemeinen Koordinaten. Wie im Text gesagt, müssen wir rechnen, um die Bewegungsgleichung aufzustellen

\partial L / \partial x

$\partial L / \partial x$ . Meine Frage ist: wenn wir das einstecken

L

$L$ und berechne die Ableitung von

x

$x$ An

L

$L$ , sollen wir null bekommen? dh

\frac{\partial {\dot{X}}^{2}}{\partial X} = 0 ?

$\frac{\partial\dot{x}^2}{\partial x} = 0 ?$

wenn es nicht Null ist, was ist das? und was ist die physikalische Bedeutung von $\frac{\partial\dot{x}}{\partial x}$ ?

QMechaniker

Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/885/2451

Antworten (4)

Lagrange-Mechanik und Zeitableitung nach allgemeinen Koordinaten

JoshPhysik · Answer 1

Ihre Verwirrung besteht wirklich nur darin, die Notation zu verstehen, die für partielle Ableitungen weit verbreitet ist.

Der Einfachheit halber beschränke ich die Diskussion auf ein System mit einem Koordinatenfreiheitsgrad $x$ . In diesem Fall ist die Lagrange-Funktion eine reellwertige Funktion zweier reeller Variablen, die wir suggestiv mit den Symbolen kennzeichnen $x$ Und $\dot x$ . Mathematisch würden wir schreiben $L:U\to\mathbb R$ Wo $U\subset \mathbb R^2$ . Betrachten wir das einfache Beispiel

L (X, \dot{X}) = A X^{2} + B {\dot{X}}^{2}

$L(x, \dot x) = ax^2+b\dot x^2$ Wenn wir den Ausdruck schreiben

\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X})

$\frac{\partial L}{\partial \dot x}(x, \dot x)$ dies ist eine Anweisung zum Differenzieren der Funktion

L

$L$ in Bezug auf sein zweites Argument (weil wir das zweite Argument benannt haben

\dot{x}

$\dot x$ ) und dann die resultierende Funktion für das Paar auszuwerten

(x, \dot{x})

$(x, \dot x)$ . Aber wir hätten genauso gut schreiben können

\partial_{2} L (X, \dot{X})

$\partial_2L(x, \dot x)$ Zur Darstellung desselben Ausdrucks. Diese beiden Ausdrücke bedeuten einfach, dass wir uns vorstellen, das erste Argument der Funktion konstant zu halten, und wir die Ableitung der resultierenden Funktion in Bezug auf den Rest bilden. Im obigen Fall bedeutet dies also das

\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X}) = 2 B \dot{X}

$\frac{\partial L}{\partial\dot x}(x, \dot x) = 2b\dot x$ Weil

x

$x$ benennt das erste Argument, und eine partielle Ableitung in Bezug auf das zweite Argument bedeutet, dass wir behandeln

x

$x$ wie eine Konstante, deren Ableitung daher ist

0

$0$ . Es ist in diesem Sinne, dass der Teil von

x^{2}

$x^2$ gegenüber

\dot{x}

$\dot x$ ist Null.

Um es noch einmal zusammenzufassen: Wenn wir diese Derivate nehmen, denken wir nur an die Symbole $x$ Und $\dot x$ sind nur Bezeichnungen für die verschiedenen Argumente der Lagrange-Funktion.

Sie könnten jedoch fragen: „Wenn $x$ Und $\dot x$ sind nur Bezeichnungen, welche Beziehung haben sie dann zu Position und Geschwindigkeit?" Die Antwort lautet, nachdem wir sie als Bezeichnungen für die Argumente von behandelt haben $L$ um die entsprechenden Ableitungen zu nehmen, werten wir dann die resultierenden Ausdrücke auf a aus $(x(t), \dot x(t))$ , die Position und Geschwindigkeit einer Kurve zu einem Zeitpunkt $t$ , um Bewegungsgleichungen zu erhalten.

Zum Beispiel, wenn Sie das Beispiel von nehmen $L$ mit der ich angefangen habe, bekommen wir

\frac{\partial L}{\partial X} (X, \dot{X}) = 2 A X, \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X, \dot{X}) = 2 B \dot{X}

$\frac{\partial L}{\partial x}(x, \dot x) = 2 ax, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot x}(x, \dot x) = 2b\dot x$ Jetzt werten wir diese Ausdrücke weiter aus

(x (t), \dot{x} (t))

$(x(t), \dot x(t))$ erhalten

\frac{\partial L}{\partial X} (X (T), \dot{X} (T)) = 2 A X (T), \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X (T), \dot{X} (T)) = 2 B \dot{X} (T)

$\frac{\partial L}{\partial x}(x(t), \dot x(t)) = 2 ax(t), \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot x}(x(t), \dot x(t)) = 2b\dot x(t)$ so dass die Euler-Lagrange-Gleichungen werden

0 = \frac{D}{D T} [\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} (X (T), \dot{X} (T))] - \frac{\partial L}{\partial X} (X (T), \dot{X} (T)) = \frac{D}{D T} (2 B \dot{X} (T)) - 2 A X (T)

$0=\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot x}(x(t), \dot x(t))\right] - \frac{\partial L}{\partial x}(x(t), \dot x(t)) =\frac{d}{dt}(2b\dot x(t)) - 2ax(t)$ was gibt

B \ddot{X} (T) = A X (T)

$b\ddot x(t) = a x(t)$ Wenn Sie das alles verstanden haben, können (und sollten) Sie auf die langatmige Schreibweise verzichten, die ich hier zur Veranschaulichung verwendet habe, und Sie sollten keinen Fehler bei der Verwendung der abgekürzten Schreibweise in Ihrem ursprünglichen Beitrag machen.

Kevin Driscoll · Answer 2

Dies ist ein etwas unintuitiver Schritt im Lagrange-Formalismus und den Euler-Lagrange-Gleichungen. Beachten Sie, dass Sie die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf eine Koordinate nehmen. Genau genommen sollten Sie bei einer partiellen Ableitung angeben, was Sie konstant halten.

Obwohl wir uns normalerweise eine Koordinate und ihre Zeitableitung als zusammenhängend vorstellen, variieren wir bei der Anwendung des Euler-Lagrange-Formalismus die verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten unabhängig voneinander . Das bedeutet, dass

\frac{\partial \dot{Q}}{\partial Q} = 0, \frac{\partial Q}{\partial \dot{Q}} = 0,

$\frac{\partial \dot q}{\partial q} = 0, \ \ \frac{\partial q}{\partial \dot q} =0,$ für jede verallgemeinerte Koordinate

q

$q$ .

Also in deinem Beispiel $\big(\frac{\partial L}{\partial x}\big)_{\dot x} = 0$ , In der Tat. Hier verwende ich die Klammern, um dies ausdrücklich zu vermerken $\dot x$ wird konstant gehalten.

Mich verwirren die Abwertungen. Meine Antwort ist nicht so umfassend wie Joshphysics, aber sie sagt im Wesentlichen dasselbe aus. Was ist falsch? Wie könnte ich es verbessern?
Diese Antwort bietet einen guten Einstieg für ein besseres Verständnis der Poisson-Bremsen, gegen die die Hamilton-Mechanik und ihre Fortsetzung mit dem Winkelwirkungsformalismus verstoßen.

AD-Phys · Answer 3

AD-Phys

Ich füge nur einen allgemeinen Kommentar zur Verwirrung bezüglich unabhängiger Variablen hinzu.

Eine Lagrange-Funktion ist eine Funktion von zwei Sätzen unabhängiger Variablen – verallgemeinerte Koordinaten und verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Wenn die Lösung (dh die Bewegung) unter einem gegebenen Satz von Anfangsbedingungen gegeben ist, wird natürlich eine Beziehung zwischen ihnen hergestellt – die verallgemeinerte Geschwindigkeit ist bekannt, wenn die verallgemeinerte Koordinate gegeben ist. Aber das bedeutet nicht, dass diese beiden keine unabhängigen Variablen sind. Sie sind so unabhängig wie zwei unabhängige Variablen $x,y$ ein Paar linearer simultaner Gleichungen erfüllen. Wenn Sie sich eine der Gleichungen ansehen, drücken Sie natürlich aus $x$ als Funktion von $y$ , aber das heißt nicht $x$ Und $y$ sind keine unabhängigen Variablen. Wenn Sie sie lösen, kennen Sie in ähnlicher Weise die numerischen Werte für beide $x$ Und $y$ , das heißt nicht $x$ Und $y$ sind keine Variablen, sondern Zahlen. Hier, in diesem Fall, $x$ Und $\dot{x}$ sind im gleichen Sinne unabhängig - im Prinzip kann ein Teilchen beliebig sein $x$ , völlig unabhängig von seiner Geschwindigkeit, und umgekehrt - im Allgemeinen sind sie nicht voneinander abhängig (im Gegensatz zu $x$ Und $x^2$ , sagen). Aber natürlich, wenn wir für sie lösen und einen Antrag stellen $x(t)$ , $\dot{x}(t)$ für einen bestimmten Fall werden sie verwandt.

Herr. neugierig

Vielen Dank für den obigen Beitrag. Wenn wir einen Lagrange haben, der hat

q

$q$ Und

q^{2}

$q^2$ , ist es möglich, zu berücksichtigen

q

$q$ Und

q^{2}

$q^2$ so unabhängig und zuverlässig sie wie

q_{1} := q

$q_1:=q$ Und

q_{2} := q^{2}

$q_2:=q^2$ ? Immerhin in der linearen Algebra

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ gelten als unabhängig...

AD-Phys

@mr.curious: Danke für die Frage, obwohl ich sie bereits beantwortet habe "(anders als

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ , sagen wir)". Das Wort Unabhängigkeit sollte nicht ohne Kontext verwendet werden. Im obigen Kontext,

q

$q$ Und

q^{2}

$q^2$ sind {\es nicht} unabhängig. Aber zum Beispiel in der linearen Algebra, wenn

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ sind Operatoren auf einem linearen Raum, ihre Mittel sind nicht unabhängig, aber ihre höheren Momente sind es. Daher sind sie unabhängig. Wir sprechen hier von klassischen Freiheitsgraden in der deterministischen Dynamik.

Herr. neugierig

Was ist, wenn wir einen Lagrange haben?

a x^{2} + b {\dot{x}}^{2} + c x + d \dot{x}

$a x^2 + b\dot{x}^2 + c x + d \dot{x}$ . Was mich davon abhält, sie in umzubenennen

x := q_{1}, x^{2} := q_{2}

$x := q_1,x^2:=q_2$ und dann, nachdem die Berechnungen abgeschlossen sind, fügen Sie sie wieder ein. Kann auch etwas mehr auf das statistische Argument eingehen, das Sie oben vorgebracht haben. Klingt nach einem interessanten Argument...

AD-Phys

@Herr. neugierig: Kann nicht nehmen

q_{1} = x

$q_1 = x$ Und

q_{2} = x^{2}

$q_2 = x^2$ und nennen sie unabhängige verallgemeinerte Koordinaten, weil in dieser Formulierung zwei unabhängige Koordinaten unabhängige Variationen haben sollten. Zum Beispiel sollte man Wege nur sorgsam bauen dürfen

q_{1}

$q_1$ und nicht

q_{2} .

$q_2.$ Wenn einer ist

x

$x$ und der andere ist

x^{2}

$x^2$ , dann können Sie sie nicht unabhängig variieren.

AD-Phys

Dahinter steckt kein statistisches Argument. Ich habe nur ein Beispiel für einen Kontext gegeben, in dem

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ unabhängig sein kann. Ich sagte, das ist möglich, wenn

x

$x$ ist keine einfache deterministische Variable, sondern beispielsweise ein Erwartungswert, der von einer Verteilung abhängt. In diesem Fall,

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ sind unabhängig in dem Sinne, dass Wissen

x

$x$ sagt nicht was

x^{2}

$x^2$ wird sein. Dies ist bei verallgemeinerten Koordinaten eines klassischen mechanischen Systems nicht der Fall. Ich hoffe, das löscht Ihre Neugier :).

AD-Phys

Entschuldigung, vielleicht war ich etwas vage. Was ich oben meinte ist folgendes. Lassen

x

$x$ ein Operator sein, dessen Erwartungswert

< x >

$<x>$ hängt von einer Verteilung ab. Dann

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ sind in dem Sinne unabhängig, dass die Kenntnis des Erwartungswerts des einen nicht den Erwartungswert des anderen aussagt.

Herr. neugierig

Danke, meine Neugier ist gestillt :). Allerdings habe ich noch eine Anmerkung: Wenn wir ein einfaches Polynom mit reellen Zahlen haben, dann kann man damit immer noch orthogonale Räume aufspannen

1 + x + x^{2} + . . .

$1+x+x^2+...$ . Und wenn wir es wissen

x

$x$ , wissen wir auch

x^{2}

$x^2$ . Aber wir können einen orthogonalen Raum mit aufspannen

1 + x + x^{2}

$1+x+x^2$ wie unsere drei Achsen ähnlich wie

(x, y, z)

$(x,y,z)$ . Wir können uns entlang bewegen "

1

$1$ " Achse, ohne etwas in der "

x

$x$ " Achse und wir können uns entlang der "

x

$x$ " Achse ohne Wechsel in der "

x^{2}

$x^2$ "Achse. Was ist, wenn man sich bezieht

q_{2} = x^{2}

$q_2=x^2$ und behandelt es als formal unabhängig und beschränkt es dann mit

q_{2} - x^{2} = 0

$q_2 - x^2=0$ .

AD-Phys

Ah! Noch ein weiteres Beispiel für Unabhängigkeit zwischen

x

$x$ Und

x^{2}

$x^2$ ! In einer Potenzreihe gilt natürlich

x,

$x,$

x^{2},

$x^2,$ ...

x^{n}

$x^n$ sind "unabhängige" Basis der Erweiterung - Sie können Koeffizienten zuweisen

x^{m}

$x^m$ Und

x^{n}

$x^n$ völlig unabhängig beliebige Polynome (sogar nichtpolynomische Funktionen) zu konstruieren. Dies lädt nur meine vorherige Einschränkung hoch - bevor Sie über die Unabhängigkeit zweier Entitäten sprechen, schauen Sie sich den Kontext an :)

Faraday · Answer 4

Verwenden Sie die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung !

Seine Frage betrifft genau die Anwendung der Euler-Lagrange-Technik.

Lagrange-Mechanik und Zeitableitung nach allgemeinen Koordinaten

Benutzer1285419

QMechaniker

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JoshPhysik

Kevin Driscoll

Kevin Driscoll

Larry Harson

AG

AD-Phys

Herr. neugierig

AD-Phys

Herr. neugierig

AD-Phys

AD-Phys

AD-Phys

Herr. neugierig

AD-Phys

Faraday

Kevin Driscoll

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