Warum werden verallgemeinerte Positionen und verallgemeinerte Geschwindigkeiten als unabhängig voneinander betrachtet? [Duplikat]

Question

Warum werden verallgemeinerte Positionen und verallgemeinerte Geschwindigkeiten als unabhängig voneinander betrachtet? [Duplikat]

Bernhard Heijstek

Ich bin verwirrt, wie

{\dot{R}}_{J} = \sum_{k} \frac{\partial R_{J}}{\partial Q_{k}} {\dot{Q}}_{k} + \frac{\partial R_{J}}{\partial T}

$\dot{\mathbf{r}}_{j}=\sum_{k}\frac{\partial\mathbf{r}_{j}}{\partial q_{k}}\dot{q}_k+\frac{\partial\mathbf{r}_{j}}{\partial t}$

führt zu dem Zusammenhang,

\frac{\partial {\dot{R}}_{ich}}{\partial {\dot{Q}}_{J}} = \frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{J}}

$\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_{i}}{\partial\dot{q}_{j}}=\frac{\partial\mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}$

Quellen schlagen vor , dass beim Differenzieren der ersten Gleichung die verallgemeinerte Geschwindigkeit und die verallgemeinerten Positionen als unabhängig voneinander betrachtet werden, dh $(\dot{q_1},\dot{q_2},...,\dot{q_n})$ ist unabhängig von $(q_1,q_2,...,q_n)$ . Ich verstehe nicht, wie sie unabhängig sind.

QMechaniker

Unabhängigkeit von

q^{i}

$q^i$ Und

{\dot{q}}^{j}

$\dot{q}^j$ wird auch in dieser Physics.SE-Fragephysics.stackexchange.com/q/885/2451 besprochen

Ron Maimon

Es gibt ein genaues Duplikat dieser Frage, aber ich konnte es nicht finden. Die Antwort ist, dass der Jacobi Tangentenvektor bewegt.

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Warum werden verallgemeinerte Positionen und verallgemeinerte Geschwindigkeiten als unabhängig voneinander betrachtet? [Duplikat]

Unabhängigkeit von $q^i$ Und $\dot{q}^j$ wird auch in dieser Physics.SE-Fragephysics.stackexchange.com/q/885/2451 besprochen
Es gibt ein genaues Duplikat dieser Frage, aber ich konnte es nicht finden. Die Antwort ist, dass der Jacobi Tangentenvektor bewegt.

Raskolnikow · Answer 1

Beginnend mit der folgenden Definition von $\mathbf{r}_j$ in Bezug auf verallgemeinerte Koordinaten

R_{J} = R_{J} (Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N}, T),

$\mathbf{r}_{j}=\mathbf{r}_{j}(q_1, q_2, \ldots, q_n,t) \; ,$

Es ist klar, dass wir die folgende Beziehung erhalten, wenn wir die Gesamtableitung nach der Zeit nehmen

{\dot{R}}_{J} = \sum_{k} \frac{\partial R_{J}}{\partial Q_{k}} {\dot{Q}}_{k} + \frac{\partial R_{J}}{\partial T} .

$\dot{\mathbf{r}}_{j}=\sum_{k}\frac{\partial\mathbf{r}_{j}}{\partial q_{k}}\dot{q}_k+\frac{\partial\mathbf{r}_{j}}{\partial t} \; .$

Aber wegen des Aussehens von $\dot{q}_k$ , $\dot{\mathbf{r}}_{j}$ hängt auch davon ab $\dot{q}_k$ . Daher ist es sinnvoll, partielle Ableitungen von zu nehmen $\dot{\mathbf{r}}_{j}$ in Bezug auf die $\dot{q}_k$ und aus der obigen Relation erhalten wir tatsächlich die Relation, die Sie finden.

Während $\dot{q}_k$ ist die zeitliche Ableitung von $q_k$ , es kann nicht als Funktion der ausgedrückt werden $q_j$ . Die Ableitung ist ein Operator, keine Funktion von Tupeln reeller Zahlen zu reellen Zahlen, das zählt also nicht. Physikalisch könnte man sagen, dass der Unterschied in der Tatsache liegt, dass eine reelle Funktion auf n-Tupeln nur Informationen darüber enthält, was an diesem Punkt zu diesem bestimmten Zeitpunkt passiert. Eine Ableitung beinhaltet jedoch Informationen darüber, was an einem bestimmten Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt passiert, aber auch an einem anderen Punkt, einen infinitesimalen Moment davor .

Oder anders ausgedrückt: Der Zustand eines klassischen Systems ist vollständig spezifiziert, wenn man die Positionen und Geschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt . Wenn nur Positionen ausreichen würden, wären die Bewegungsgleichungen Gleichungen erster Ordnung und die zeitliche Ableitung wäre wirklich von den Positionen zu einem Zeitpunkt abhängig, weil sie vollständig von ihnen bestimmt wäre. Dies ist bei den klassischen Gleichungen zweiter Ordnung, die wir für die meisten klassischen Systeme von Punktteilchen haben, nicht der Fall.

+1. Trotzdem, wenn $q(t)$ ist dann eine bekannte Funktion der Zeit $\dot q (t)$ errechnet sich aus $q$ . In diesem Sinne wissende Funktionen $q_i (t)$ ist ausreichend. $\dot q (t)$ sollte keine Funktion von sein $q$ aber von $t$ . Eine andere Sache, die die numerischen Werte von $q_i (t_1)$ bestimmen nicht den Systemzustand an $t_1$ eindeutig.
Sicher, aber das liegt daran, dass Sie die Position zu jedem Zeitpunkt kennen und daher auf ihre Ableitung schließen können. Aber das ist nicht gemeint mit "Abhängigkeit" im Zusammenhang mit Variablen, die ein System beschreiben.
Ihre Erklärung kommt in der zweiten Hälfte als Handwinken und verwirrend rüber. Man muss nur sagen, dass die $q_k$ s sind unabhängig voneinander und damit auch ihre Variation voneinander sowie unabhängig von der $q_k$ S

Wladimir Kalitwjanski · Answer 2

Wenn $q$ ist dann eine bekannte Funktion der Zeit $\dot q$ ist nicht unabhängig. Aber vor dem Schreiben und Lösen der Gleichungen (vor dem Finden $q(t)$ , haben Sie möglicherweise unbekannte und unabhängige Variablen (wie $x$ Und $y$ ), was von Ihrer Quelle vorgeschlagen wird.

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Bernhard Heijstek

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Raskolnikow

Wladimir Kalitwjanski

Raskolnikow

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Wladimir Kalitwjanski

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