Warum ist dy′dyd⁡y′d⁡y\frac{\operatorname dy'}{\operatorname dy} Null, da y′y′y' von yyy abhängt?

1. Als Mathematiker, wenn ich sehe

   $$\frac{dy'(t)}{dy}$$ Ich denke, die natürlichste Definition ist $$\frac{d\frac{dy}{dt}}{dy} = \frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt}{dy}$$ was definitiv nicht (normalerweise) null ist.

2. Wir können uns ein dynamisches System vorstellen, das ein Teilchen auf einer Linie mit drei Koordinaten modelliert und jeden potentiellen "Zustand" modelliert, den das Teilchen hat, wobei ein "Zustand" seine aktuelle Position und aktuelle Geschwindigkeit ist. Die Variablen heißen also „v, x und t“.

Wenn sich das Partikel zum Zeitpunkt 0 beispielsweise 3 Meter westlich des Ursprungs befindet und sich mit 4 Metern pro Sekunde nach Osten bewegt, sind seine Koordinaten$t = 0, v = 3, x = 4$.

In einem solchen System gibt es Invarianten des Teilchens, die nicht von seinem Ort abhängen, wohl aber von seiner Geschwindigkeit und seiner Uhrzeit. Nennen wir eine solche Invariante$L$dann ist das klar$\frac{\partial L(v, t)}{\partial x} = 0$.

Ich stelle mir vor, dass sich Ihre Notation auf so etwas (möglicherweise in einer höheren Dimension) bezieht.

Die Frage von OP ist eine häufig gestellte Frage, wenn man versucht, die Lagrange-Mechanik zu lernen . Es ist im Wesentlichen dieselbe Frage wie in diesem Phys.SE-Beitrag.

Die Antwort von Benutzer zyx ist genau richtig. Im Lagrange$L(x, \dot{x},t)$, die drei Argumente$x$,$\dot{x}$, Und$t$sind unabhängige Variablen. Eine weniger verwirrende Notation wäre$L(x,v,t)$.

Der Hauptpunkt ist der für einen bestimmten Augenblick$t_0$, der Lagrange$L(x_0,v_0,t_0)$ist eine Zustandsfunktion, die das System in diesem Moment beschreibt, nicht die Zukunft$t>t_0$, noch die Vergangenheit$t<t_0$. Der Lagrange$L(x_0,v_0,t_0)$hängt nur von der momentanen Position ab$x_0$, auf der momentanen Geschwindigkeit$v_0$, und möglicherweise explizit auf den Augenblick$t_0$.

Da die entsprechende Lagrange-Gleichung eine ODE 2. Ordnung ist, können zwei unabhängige Anfangsbedingungen gewählt werden$x(t_0)=x_0$Und$v(t_0)=v_0$. Also die momentane Position$x_0$und die Momentangeschwindigkeit$v_0$sind voneinander unabhängig .

Weitere Informationen und die Beziehung zum Prinzip der stationären Aktion finden Sie z. B. in meiner Phys.SE-Antwort hier .

In der klassischen Mechanik sind die Bewegungsgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen, typischerweise von Ordnung$2$,$x'' = F(x,x')$, Wo$x$ist ein Vektor in$n$Maße.

Hier$x$Und$x'$sind nichts anderes als Bezeichnungen für zwei unabhängige Variablen, die beide sind$n$-Komponentenvektoren. Sie sind nur Koordinaten auf einer$n+n$dimensionalen Raum und hätte benannt werden können$a$Und$b$. Lösungen der Differentialgleichung sind Wege, die damit zeitlich parametrisiert sind$x = a(t), x'=b(t)$folgen in diesem Raum einem Vektorfeld, das zur Codierung der Bewegungsgleichungen eingerichtet ist.

Auf dem Phasenraum (der$2n$-dimensionalen Raum gerade beschrieben), die Funktionen$a$Und$b$(Verzeihung,$x$Und$x'$) sind unabhängig. Sie sind definiert durch$a(r,s)=r$Und$b(u,g)=g$wo die Notation pervers gewählt wurde, um deutlich zu machen, dass dies nicht mehr als eine Buchhaltung von Variablen ist.

Auf einem Lösungsweg der Bewegungsgleichungen$x$Und$x'$, womit ich die Einschränkung der Funktionen meine$a$Und$b$zum Pfad (ignoriert ihre Werte auf dem Rest der$2n$-dimensionaler Raum), sind sicherlich nicht unabhängig. Der Weg ist eindimensional und (meistens für kurze Zeitintervalle) eine typische Funktion der Bewegung wie$x$,$x'$, oder$x^3 + e^{x'}$, enthält normalerweise die gleichen Informationen wie$x$oder$x'$oder die Kombination$(x,x')$. Alle diese Daten können aus anderen berechnet werden.

Das Vektorfeld wurde so aufgestellt, dass auf dem Lösungsweg$\large \frac{d}{dt}$angewendet$x(t)$gibt$x'(t)$, die Bezeichnungen waren also nicht ganz so willkürlich wie zuvor dargestellt.

Die Notation$\large \frac{dx'}{dx}$, gelesen als Differenzierung von$x'$als Funktion des Phasenraums in der$x$Richtung ist$0$. Es ist der$n \times n$Nullmatrix, nicht die Zahl$0$, Wenn$x$hat mehr als eine Komponente.

Die Notation$\large \frac{dx'}{dx}$, gelesen als Berechnung auf einem Lösungsweg, ist$x''(t)/x'(t)$oder der$n$-dimensionales Analogon mit Matrizen (das ist die$1\times 1$Matrix, die abbildet$ux'(t)$Zu$ux''(t)$für alle Skalare$u$), und das ist es nicht$0$.

Beachte das erstmal$\frac{\partial L(\dot{x},t)}{dx}$ist nicht dasselbe wie$\frac{dy'}{dy}$.

Aber um der Argumentation willen nehmen wir an, dass in der symbolischen Darstellung von$L$Sie erhalten einen Begriff wie$4\dot{x}$oder etwas ähnliches.

Um festzustellen warum$\frac{d\dot{x}}{dx}$Null wäre, müssen wir uns ansehen, was die Definition einer Ableitung ist.

Um es einfach zu sagen: Bei einer Ableitung geht es nicht darum, zu untersuchen, ob etwas intuitiv von etwas „abhängt“. Das ist eine beiläufige Vorstellung, die verwendet wird, um das Konzept Anfängern der Analysis beizubringen. Vielmehr ist die Ableitung ganz explizit definiert als die Grenze einer Differenz zweier Funktionswerte, wenn die Änderung ihres Arguments willkürlich klein wird, oder$f'(t) = \lim_{h\to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$.

Beachten Sie, dass dies die Definition der Ableitung an einem Punkt ist , nämlich$t$. Dies ist ein etwas anderer Begriff als die funktionale Darstellung der Ableitung, die wir auch so schreiben$f'(t)$. Die Betrachtung der Ableitung als Funktion macht jedoch nur bei den Werten von Sinn$t$wo die Ableitung existiert, die irgendwo oder nirgendwo oder in einer Teilmenge der Domäne sein kann$f(t)$selbst existiert.

Die funktionale Darstellung der Ableitung hängt jedoch nicht davon ab$f$, nur an$t$. Die Werte, die es annimmt, hängen nur von dem Bereich der Domäne ab, in dem Sie suchen.

Mit anderen Worten, das Ändern des Werts von$f$führt zu keiner Änderung der Ableitung - sie macht sie vollständig ungültig.

$\frac{d x^2}{dx}$ist keine geringfügige Änderung von$\frac{d x^3}{dx}$, erhalten durch Variieren der Funktion. Es ist eine ganz andere Konstruktion.

In Ihrem Fall haben Sie eine Funktion$L(\dot{x},t)$das hängt explizit davon ab$\dot{x}$Und$t$. Es besteht keine Abhängigkeit von$x$selbst, also durch Erzwingen einer kleinen Änderung des Wertes von$x$, ändern wir den Wert von nicht$L$. Eine kleine Änderung erzwingen$x$heißt nicht ändern$\dot{x}$in diesem Zusammenhang, weil wir in der Definition der Ableitung der unabhängigen Variablen einen kleinen Wert hinzufügen . Und da$\frac{d (x+c)}{dt} = \frac{dx}{dt}$, dann sehen wir, dass es keine Änderung gibt$\dot{x}$.

(Dies ist eine Bearbeitung!)

Denken Sie so darüber nach. Wählen Sie zwei Punkte$y_1$Und$y_2$und sag mir$y'$an einem dieser beiden Punkte. Die offensichtliche Antwort ist die$y'$könnte an jedem Punkt irgendetwas sein , also können wir uns nicht vorstellen$y'$als Funktion von$y$(dh$y' \neq f(y)$). Um eine Ableitung zu nehmen, erinnern Sie sich, dass zwei Variablen in einer funktionalen Beziehung verbunden sind, das heißt$f(y)$nimmt an jedem Punkt einen bestimmten Wert an$y$. Obwohl die Funktion$y'$ hängt davon ab$y$wie eine Kurve zur anderen, ist sie funktional nicht von ihr abhängig (dh an bestimmten Stellen eindeutig).