Richtungsableitungen kollinearer Vektoren

Ich lerne gerade etwas über Richtungsableitungen und muss etwas herausfinden, um es vollständig zu verstehen: Was ich verstanden habe, ist, dass es bei Richtungsableitungen um unendlich kleine Richtungsänderungen geht, dann interessiert uns nicht wirklich das Ausmaß dieser Änderung.

Können wir also sagen, dass der Wert der Richtungsableitung des Vektors V und des Vektors W = 100 V (zum Beispiel) am Punkt (x, y) fast gleich sein sollen?

Uns interessiert das Ausmaß der Veränderung. Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate der Funktion in einer bestimmten Richtung (angegeben durch einen Einheitsvektor). Wenn Sie eine Funktion von zwei Variablen nehmen und über ihren Graphen nachdenken (eine Fläche im 3-Raum), dann wählen Sie eine Richtung in der xy-Ebene und schneiden Sie den Graphen mit einer vertikalen Ebene in dieser Richtung, dem Schnittpunkt der Ebene und des Graphen ist eine ebene Kurve, und dann können Sie so tun, als ob alles in dieser Ebene passiert, und dort gewöhnliche eindimensionale Rechnungen durchführen.
@NickD Das verdient eine Antwort statt eines Kommentars.
@NickD Gemäß der allgemeineren Definition wird die Richtungsableitung nicht unbedingt auf einen Einheitsvektor bezogen. Das ist eine spezifischere Definition, die oft verwendet wird, aber es ist nicht "die Definition". Siehe Richtungsableitung
@gimusi Aber wenn wir Richtungen vergleichen wollen, um die "beste" zu finden (eigentlich die, auf die der Gradient zeigt), müssen wir dann einen Einheitsvektor verwenden, um die Dinge zu normalisieren, indem wir dieselbe Skala verwenden, oder?
@RyanB. Wenn das Ziel darin besteht, die Richtung der maximalen minimalen Variation für die Funktion zu finden, die wir verwenden können ∂ F ∂ v → für alle fest | v → | = k und brauchen wir nicht k = 1 (auch wenn wir oft wählen k = 1 ). Denken Sie daran, dass wir verwenden können, wenn die Funktion differenzierbar ist ∂ F ∂ v → = ∇ F ⋅ v → .

Antworten (2)

Für alle v → = ( A , B ) Wir können die Richtungsableitung definieren als:

∂ F ∂ v → = lim H → 0 F ( X 0 + A H , j 0 + B H ) − F ( X 0 , j 0 ) H

und wenn wir den entsprechenden Einheitsvektor betrachten v ^ = ( C , D ) so dass v → = λ v ^ wir haben

∂ F ∂ v → = ∂ F ∂ λ v ^ = lim H → 0 λ F ( X 0 + λ C H , j 0 + λ D H ) − F ( X 0 , j 0 ) λ H = λ ∂ F ∂ v ^

[Mein Kommentar wurde auf Anregung von @amd beantwortet - danke!]

Uns interessiert das Ausmaß der Veränderung. Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate der Funktion in einer bestimmten Richtung (angegeben durch einen Einheitsvektor in dieser Richtung). Wenn Sie eine Funktion von zwei Variablen nehmen und über ihren Graphen nachdenken (eine Fläche im 3-Raum), dann wählen Sie eine Richtung in der xy-Ebene und schneiden Sie den Graphen mit einer vertikalen Ebene in dieser Richtung, dem Schnittpunkt der Ebene und des Graphen ist eine ebene Kurve, und dann können Sie so tun, als ob alles in dieser Ebene passiert, und dort gewöhnliche eindimensionale Rechnungen durchführen.

Ich habe es gerade verstanden: Wir interessieren uns für die Größe der Änderung der Funktion, aber wir ändern nicht die Größe des Richtungsvektors. Aus diesem Grund verwenden wir Einheitsvektoren mit kleiner, sehr kleiner Größe, richtig?
Wir müssen keine Einheitsvektoren verwenden (wie @gimusi betont): Wir kümmern uns nicht wirklich um die Größe des Vektors, sondern nur um seine Richtung (deshalb ist es eine "Richtungsableitung"). Aber wenn Einheitsvektoren verfügbar sind (z. B. in euklidischen Räumen), sind sie praktisch. Nicht sicher, was Sie mit "wenig, sehr wenig Größe" meinen: Einheitsvektoren haben per Definition die Länge 1.
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