Ableitung zweiter Ordnung nach einer Funktion zweier Variablen.

Ich habe eine Oberfläche, die als Radiusvektor in sphärischen Koordinaten definiert ist:

$$r = r (\theta, \psi).$$ In kartesischen Koordinaten werden die Projektionen wie folgt berechnet: $$\begin{align} r_x &= r \sin \theta \cos \phi, \\ r_y &= r \sin \theta \sin \phi, \\ r_z &= r \cos \theta. \end{align}$$ Ich möchte die Gaußsche Krümmung berechnen $K$der Oberfläche in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch sphärische Koordinaten: $$K=\det \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x^2} & \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} & \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y^2} \end{pmatrix}.$$

Ich benutze die Kettenregel, um die Ableitungen zu berechnen:

$$\begin{align} r^{'}_x \equiv \frac{\partial r_z}{\partial r_x} &= \frac{\partial r_z}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r_z}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ r^{'}_y \equiv\frac{\partial r_z}{\partial r_y} &= \frac{\partial r_z}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r_z}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}, \end{align}$$ Ableitungen zweiter Ordnung werden auf die gleiche Weise berechnet: $$\begin{align} \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x^2} &= \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y \partial r_x} &= \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} &= \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y^2} &= \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}. \end{align}$$ Aus der obigen Gleichung folgt das $$\frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} \ne \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y \partial r_x},$$ was nicht wahr sein kann.

Wo mache ich einen Fehler in der obigen Argumentation?

Danke!