Wie kann man die Euler-Lagrange-Gleichungen umkehren?

Angenommen, ich habe ein funktionelles L. Zum Beispiel L = j + 3 j ' . Wobei y selbst eine Funktion der reellen Variablen x ist

Es fällt mir leicht, die funktionale Ableitung von L über die Euler-Lagrange-Gleichungen auszuwerten:

∂ L ∂ j − D D X ∂ L ∂ j '

Aber wie macht man das Gegenteil? Finden Sie bei gegebener Funktion L die Funktion G, die bei Anwendung durch das Obige L ergibt.

Der d / dx-Term macht die Sache sehr schwierig, da die beiden partiellen Ableitungen voneinander unabhängig sind, aber diese Unterscheidung erzwingt eine Beziehung zwischen den beiden.

Ich bin ein wenig verwirrt über die Frage. Bitten Sie zu finden G das befriedigt P [ G ] = L , Wo P ist der EL-Operator?
Ja @Gregory das ist das Ziel
Es scheint, dass OP das inverse Problem für die Lagrange-Mechanik stellt: Finden Sie bei gegebener ODE eine Lagrange, sodass die Euler-Lagrange-Gleichung zur ODE wird.

Antworten (2)

Ihr Problem ist das klassische inverse Problem, das 1887 von Helmholtz formuliert wurde. Dieses Problem wurde, soweit ich weiß, 1897 von Mayer und Hirsch vollständig gelöst. Wenn Sie eine vollständige und moderne Untersuchung dieses Problems wünschen, können Sie das Buch von lesen Olver "Anwendungen von Lie-Gruppen auf Differentialgleichungen". In diesem Buch wird der multidimensionale Fall (PDE) mit allgemeiner Ordnung untersucht.

In meiner Diplomarbeit (oben zitiert von Sylvain L.) habe ich eine explizite Formulierung der Helmholtz-Bedingung im eindimensionalen Fall (ODE) zweiter Ordnung gegeben. In diesem speziellen (und einfacheren) Fall kann die Helmholtz-Bedingung auf sehr einfache Weise geschrieben werden. Sie finden es in Gleichung (IV.2.12) S.67. Diese Bedingung ist ausreichend und notwendig, um einen Differentialoperator zweiter Ordnung zu gewährleisten Ö ein Euler-Lagrange-Operator (zweiter Ordnung) ist.

Betrachten wir nun einen Differentialoperator zweiter Ordnung Ö das die Helmholtz-Bedingung erfüllt, und wenn Sie eine Lagrange-Funktion finden möchten L so dass E L [ L ] = Ö (Wo E L der Euler-Lagrange-Operator ist), dann können Sie dem Schritt des Beweises von Theorem IV-2 S.67 folgen. Dieser Beweis gibt einen expliziten Weg, eine solche Lagrange-Funktion zu konstruieren L .

Bemerkung: Beachten Sie das L ist nicht eindeutig, da einige "Null-Lagrangian" existieren, siehe Abschnitt IV-2-3 S.69.

Was Sie suchen, wird meiner Meinung nach das inverse Helmotz-Problem genannt: Unter welcher Bedingung gibt es bei einem Differentialoperator zweiter Ordnung einen entsprechenden Lagrangian?

Sie können mehr darüber im Internet erfahren (zum Beispiel https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics ), aber ich habe nie so viele Referenzen darüber gefunden.

Soweit ich weiß, gibt es für den Operator eine unabdingbare Bedingung dafür, dass er eine Euler-Lagrange-Ableitung einer Lagrange-Funktion ist, die als Helmoltz-Bedingung bezeichnet wird.

Aber ich denke, dass es in der Praxis nicht immer einfach zu bedienen ist. Wenn wir jedoch ein Problem mit nur einem Freiheitsgrad betrachten, was in Ihrer Frage der Fall zu sein scheint, gibt es eine explizitere Bedingung, die äquivalent ist und manchmal als explizite Helmoltz-Bedingung bezeichnet wird. Ich denke, dass es in diesem Fall sogar eine explizite Konstruktion der Lagrange-Funktion gibt.

Ich schaue mal, ob ich herausfinde, wo ich das gelesen habe.

Update: Ich habe es gefunden, es ist http://www.unilim.fr/pages_perso/loic.bourdin/Documents/bourdin-thesis2013.pdf . Es ist halb auf Französisch, halb auf Englisch, aber der gesuchte Teil ist auf Englisch. Es ist der Abschnitt IV.2. Seite 65.

Wie kann man die Euler-Lagrange-Gleichungen umkehren?
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