Harmonische Funktionen, die gleichmäßig konvergieren?

Lassen u k durchgehend eingeschaltet sein Ω ¯ , u k harmonisch ein Ω . Vermuten u k | ∂ Ω konvergieren gleichmäßig. Dann u k konvergieren gleichmäßig in Ω .

Der Hinweis verwendet das Maximum-Prinzip.

Mein Versuch :

Nach Poisson-Integral-Formel:

u k ( X ) = ∫ ∂ Ω ∂ G ∂ N ( X , j ) u k ( j ) D S ( j ) . Dann lass k geht ins Unendliche. Die RHS ist also harmonisch u ( X ) ist harmonisch Ω .

Meine Frage : Ich habe das Maximalprinzip nicht angewendet.

Ich habe mehrere Stunden darüber nachgedacht und mir ist nichts über das Maximumprinzip klar geworden?

Kann mir jemand mit ein paar Antworten oder Hinweisen helfen? Das wird wirklich hilfreich sein!

Vielen Dank!:)

Was wird über die Grenze von angenommen Ω ? Um die normale Ableitung von zu nehmen G , benötigen Sie mindestens den Normalenvektor. Beim Maximum-Prinzip müssen Sie sich darüber keine Gedanken machen. Wenden Sie es einfach an u k − u l um zu zeigen, dass die Folge einheitlich Cauchy ist.
@CareBear Das ursprüngliche Problem liegt in einem Ball. Dann ist der Normalenvektor gerade j / R . Aber dann gibt es ein Fazit, in dem es auch stimmt Ω unter Anwendung des Maximumprinzips. Dann bin ich verwirrt. ich dachte ∂ G ∂ N ist immer harmonisch? Ist das falsch? :)
Damit etwas harmonisch ist, muss es zuerst definiert werden. Um eine normale Ableitung zu definieren, benötigen wir einen normalen Vektor. Nicht jedes Gebiet hat Normalenvektoren am Rand, nur Gebiete mit glattem Rand.

Antworten (1)

Seit u k | ∂ Ω gleichmäßig konvergent ist, ist es gleichmäßig Cauchy: wenn

M J , k = max X ∈ ∂ Ω | u J ( X ) − u k ( X ) |
Dann M J , k → 0 als J , k → ∞ .

Gegeben zwei Indizes J , k der Unterschied u J − u k ist harmonisch. Für alle X 0 ∈ Ω Sie haben nach dem Maximum-Prinzip

u J ( X 0 ) − u k ( X 0 ) ≤ max X ∈ Ω ¯ ( u J ( X ) − u k ( X ) ) = max X ∈ ∂ Ω ( u J ( X ) − u k ( X ) ) ≤ M J , k .
Vertausche die Rollen von J Und k auch zu erhalten
u k ( X 0 ) − u J ( X 0 ) ≤ M J , k .
Daher | u J ( X 0 ) − u k ( X 0 ) | ≤ M J , k für alle X 0 ∈ Ω . Das bedeutet, dass { u k } ist einheitlich Cauchy in Ω , also gleichmäßig konvergent.

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