Warum ist uns Hölder-Kontinuität wichtig?

Hölder-stetige Funktionen führen in keinem mir bekannten Kontext zu nützlichen schwachen Lösungen: Es gibt Vorstellungen von schwachen Lösungen, die stetig sind, aber der Hölder-Modul ist für die Definition nicht relevant.

Es kann zwar einige seltene Ergebnisse geben, die bestimmte Hölder-Moduli erfordern$\alpha < 1$, mir fällt keine ein, die ich in meiner Forschung verwende.

Warum sich also überhaupt um Hölder-Kontinuität kümmern? Hier sind ein paar Gründe. Ich werde sagen, dass dies aus einer reinen PDE-Perspektive kommt und dass Hölder-Räume am nützlichsten sind, wenn es um elliptische, parabolische und einige PDE erster Ordnung geht. Für Dispersions- und Wellengleichungen ist die Tatsache, dass Hölder-Normen nicht gut mit der Fourier-Transformation interagieren, ein Schlag gegen sie. Es gibt andere (Nicht-PDE-) Bereiche der Analyse und Geometrie, die Hölder-Räume aus anderen Gründen nützlich finden, aber das wäre eine andere Antwort.

Kompaktheit

Hölderräume haben sehr elementare und günstige Kompaktheitseigenschaften. Eine Folge von Funktionen mit beschränkten Hölder-Normen hat eine gleichmäßig konvergente Teilfolge, und die Hölder-Norm ist unter gleichmäßiger Konvergenz untere halbstetig. Einheitliche Konvergenz ist überraschenderweise äußerst nützlich, wenn einige Arten von PDE untersucht werden, und reicht oft aus, um die gesamte PDE bis an die Grenze zu bringen. Dies ist bei Verteilungslösungen linearer Gleichungen der Fall und noch deutlicher bei Viskositätslösungen.

Einfach zu bedienen und zu verstehen

Die Theorie der Hölderräume geht nicht sehr tief. Im Gegensatz zu Sobolev-Räumen, die auf subtile Weise mit der Geometrie einer Bereichsgrenze interagieren, Funktionen enthalten, die im Allgemeinen punktuell keinen Sinn ergeben, den Umgang mit Verteilungsableitungen erfordern usw., sind Hölder-Räume nur Räume mit gleichkontinuierlichen Funktionen, in denen sonst wenig passiert .

Es ist leicht zu beweisen, dass eine Funktion Hölder-stetig ist, und gängige Methoden, dies zu tun, stimmen gut mit unserer Herangehensweise an PDE überein. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, dies zu beweisen

$$\max_{B_r(x)} u - \min_{B_r(x)} u \leq (1 - \theta)[ \max_{B_{2r}(x)} u - \min_{B_{2r}(x)}u]$$ für einige$\theta > 0$, ein Zerfall der Oszillation . Das Iterieren ergibt das$u$weist einen gewissen Hölder-Modul auf$x$. Diese Art von Aussage ist eine, die wir gerne versuchen und für Lösungen beweisen$u$: Begrenzung des Maximums von$u$in einem bestimmten Maßstab in Bezug auf$u$auf einem größeren Ball ist etwas, wozu wir tatsächlich die Werkzeuge haben, zumindest für elliptische Gleichungen. Es gibt auch gute Ansätze zum Zeigen$u$ist Hölder basierend auf Sobolev oder$L^p$Grenzen auf jeder Skala (Morrey/Companato-Ungleichungen), und manchmal werden Sobolev-Räume direkt in Hölder-Räume eingebettet.

Ein weiterer guter Aspekt von Hölder-Räumen ist, dass sie uns von einer Erhöhung der Glätte um gebrochene Potenzen sprechen lassen, ohne (gebrochene?) Ableitungen oder überhaupt irgendwelche Ableitungen nehmen zu müssen, und ohne die Fourier-Transformation zu benötigen. Keine Ableitungen nehmen zu müssen, ist eine große technische Annehmlichkeit (sehen Sie, wie die Verbesserung der Oszillation oben eine Aussage über nur die punktweise Lösung ist; das ist großartig, wenn das Differenzieren der Gleichung problematisch ist); sich nicht mit Bruchteilen befassen zu müssen, macht alles viel deutlicher; Die Fourier-Transformation nicht zu benötigen, ist eine gute Nachricht für Gleichungen, die schlecht damit interagieren.

Unsere besten Theoreme sind wahr, wenn$\alpha \in (0, 1)$

Sicher, Hölder-Räume könnten schön sein, aber warum nicht einfach nutzen$\alpha = 1$? Es stellt sich heraus, dass es viel, viel schwieriger ist, zu beweisen, dass etwas Lipschitz ist, und dass es oft einfach nicht wahr ist. Betrachten Sie die Gleichung

$$\Delta u = f.$$ Heuristisch erwarten wir das$u$ist zwei Ableitungen glatter als$f$, denn das scheint die Gleichung zu sagen: einige zweite Ableitungen von$u$gleich$f$. Die eigentlichen positiven Ergebnisse in dieser Richtung sind, dass wenn$f \in C^{0, \alpha}$, Dann$u \in C^{2, \alpha}$(Schauder), dass wenn$f \in L^p$Dann$u \in W^{2, p}$Wenn$p \in (1, \infty)$(Calderon-Zygmund), einige ähnliche Sätze, die sind$k$Ableitungen davon und viel kompliziertere Klassifikationen dessen, was an den Endpunkten passiert$\alpha = 0, \alpha = 1, p = 1, p = \infty$. Insbesondere ist keine der Endpunktversionen wahr, sie erfordern alle Modifikationen, unterschiedliche Räume usw. Diese Tatsache, dass Theoreme der harmonischen Analyse kompliziertere Endpunktversionen haben, ist ein laufendes Thema auf dem Gebiet und bedeutet, dass wir dies gerne tun würden arbeiten mit$\alpha = 1$, oft dürfen wir es einfach nicht.

Es gibt andere Arten von Sätzen, mit denen wir beweisen können, dass es ein gibt$\alpha > 0$so dass Lösungen (oder ihre Derivate oder etwas damit verwandtes) enthalten sind$C^{0, \alpha}$. Hier dürfen wir nicht erwarten, dass die Funktionen irgendwo in der Nähe von Lipschitz liegen. Das bekannteste Beispiel dafür ist der Satz von De Giorgi-Nash-Moser.

Eine andere Verwendung der Hölder-Kontinuität ist die hyperbolische Dynamik. Betrachten Sie als Anfang einen kompakten$C^\infty$vielfältig$M$ausgestattet mit a$C^2$Riemannsche Metrik$\mathfrak{g}$und ein$C^1$Diffeomorphismus$f:M\to M$.$f$heißt (einheitlich) hyperbolisch (oder Anosov ), wenn es eine invariante Aufspaltung gibt$TM=S(f)\oplus U(f)$, wo Vektoren im stabilen Bündel$S(f)$Verträge unter$Tf$exponentiell schnell und Vektoren im instabilen Bündel$U(f)$Verträge unter$Tf^{-1}$exponentiell schnell, wenn es in Bezug auf die durch die Metrik induzierten Normen gemessen wird (daher durch Kompaktheit jede Metrik) (siehe Was ist die Konstante der Hyperbolizität? für weitere Details). Heuristisch$S_x(f)$ist die Menge der Anfangsbedingungen$y$unendlich nah dran$x$deren Vorwärtsbahnen unter$f$konvergieren auf die Vorwärtsbahn von$x$exponentiell schnell im Zeitschritt, und eine ähnliche Interpretation gilt für$U_x(f)$.

Anosov zeigte in „Tangent Fields of Transversal Foliations in$\Upsilon$-Systeme" das, wenn man die Zuordnungen betrachtet$x\mapsto S_x(f)$Und$x\mapsto U_x(f)$als Abschnitte des Grassmannschen Bündels$\operatorname{Gr}(TM)\to M$,$\operatorname{Gr}(TM)_x=\operatorname{Gr}(T_xM)=\{E\,|\, E \text{ is a linear subspace of } T_xM\}$, dann sind sie lokal Hölderstetig, sofern das der Fall ist$f$Ist$C^2$(oder$C^{1,\theta}$im Sinne von Definition des Hölderraums auf Mannigfaltigkeit ). Hier ist die lokale Hölder-Stetigkeit wie folgt zu interpretieren: let$x\in M$und lass$r_x(\mathfrak{g})\in\mathbb{R}_{>0}$sei der Injektivitätsradius von at$x$, so dass$\exp_x^\mathfrak{g}: T_xM(0; r_x(\mathfrak{g}))\stackrel{\cong_{C^1}}{\hookrightarrow} M$ist ein$C^1$Einbettung der offenen Kugel in$T_xM$zentriert bei$0$mit Radius$r_x(\mathfrak{g})$; bezeichnen mit$N_x$das Bild. Dann wenn$y\in N_x$, gibt es eine eindeutige geodätische Form$y$Zu$x$was einen parallelen Transport definiert$\Pi_{x\leftarrow y}: T_yM\stackrel{\cong}{\to} T_xM$was einen (isometrischen) Isomorphismus (homogener Räume) induziert$\operatorname{Gr}(\Pi)_{x\leftarrow y}=\operatorname{Gr}(\Pi_{x\leftarrow y}):\operatorname{Gr}(T_yM)\stackrel{\cong}{\to} \operatorname{Gr}(T_xM)$. Dann für$\theta\in ]0,1]$, ein Abschnitt$E:M\to \operatorname{Gr}(TM)$ist lokal$\theta$-Hölder kontinuierlich, wenn

$$\exists C\in\mathbb{R}_{>0},\forall x\in M,\forall y\in N_x: \Vert \operatorname{proj}(E_x)-\operatorname{proj}(\operatorname{Gr}(\Pi)_{x\leftarrow y}(E_y)) \Vert_x\leq C d(x,y)^\theta,$$

Wo$\operatorname{proj}(V)$ist die dem Unterraum zugeordnete orthogonale Projektion$V$.

Die Bedeutung davon ist dies: solange der Diffeomorphismus$f$Ist$C^1$, so dass die Tangentenkarte$Tf$ist definiert,$S(f)$Und$U(f)$sind wohldefiniert und hängen stetig vom Basispunkt ab. Sogar wenn$f$ist echt analytisch,$S(f)$Und$U(f)$kann nicht differenzierbar sein; was zu Problemen bei der Integration führt. Allerdings seit$x\mapsto S_x(f)$Und$x\mapsto U_x(f)$Sind$C^{(0,\theta)}$für einige$\theta\in]0,1]$, sie integrieren sich einzigartig in Querblätterungen$\mathcal{S}(f)$Und$\mathcal{U}(f)$. Die Blätter von$\mathcal{S}(f)$Und$\mathcal{U}(f)$sind so regelmäßig wie$f$, jedoch wird ihre transversale Regelmäßigkeit durch die Regelmäßigkeit von geregelt$x\mapsto S_x(f)$Und$x\mapsto U_x(f)$; insbesondere sind sie lokal Hölder. Dies wiederum ist die entscheidende Eigenschaft, die die Ergodentheorie mit der differenzierbaren Dynamik verbindet: Die stabile und instabile Schieferung, die lokal Hölder ist, garantiert die sogenannte absolute Stetigkeitseigenschaft dieser Schieferung; was bedeutet, dass die Holonomien zwischen instabilen Blättern und Holonomien zwischen stabilen Blättern die durch die Riemannsche Metrik induzierten Blattvolumina nicht kollabieren, so dass Fubini-Theoreme entlang der stabilen und instabilen Schieferungen verfügbar sind (obwohl diese Schieferungen wie erwähnt im Allgemeinen nicht kontinuierlich differenzierbar sind). über). Dies wird wiederum verwendet, um die Ergodizität von Anosov-Diffeomorphismen zu ermitteln, wobei ein Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß der Lebesgue-Klasse erhalten bleibt.

Der oben definierte Begriff der Hyperbolizität wurde in verschiedene Richtungen verallgemeinert (partielle Hyperbolizität, ungleichmäßige Hyperbolizität, ...); und Anpassungen des obigen Arguments sind in diesen verallgemeinerten Situationen immer noch sehr relevant.