Fragen zu schwachen Derivaten

Question

Fragen zu schwachen Derivaten

Mathematik
Realanalyse
schwache Ableitungen
funktionsanalyse
partielle Differentialgleichungen

Jeff

Es gibt zwei Definitionen der generalisierten Differenzierung, die für den Kontext von PDEs relevant erscheinen. (Das heißt, wir verallgemeinern, welche Objekte unterschieden werden können, bleiben aber im euklidischen Raum. Es gibt auch andere Arten von Verallgemeinerungen, die den Raum verändern, wie Frechet- oder Gateaux-Ableitungen in Banach-Räumen.)

Zum einen nehmen wir jede Verteilung (kontinuierliche lineare Funktion an $C^\infty_{com}$ mit der Topologie der Konvergenz aller Ableitungen in sup norm) und wir setzen sie mit Differentiation mal negativem Vorzeichen voraus. Hier gibt es keine Frage der Existenz.

Die andere wird als "schwache Ableitung" bezeichnet und soll nur auf lokal integrierbare messbare Borel-Funktionen angewendet werden, aber wiederum auf eine offene Teilmenge des euklidischen Raums. Dann kann die schwache Ableitung existieren oder nicht, und wenn dies der Fall ist, ist die Definition, dass sie lokal integrierbar ist und die Teilintegrationsbeziehung gegen glatte, kompakt unterstützte Testfunktionen erfüllen muss.

Ich entnehme, dass die erste Verallgemeinerung auch eine Verallgemeinerung der zweiten ist, solange man lokal integrierbare Funktionen mit ihren Integrationsverteilungen identifiziert. Erstens erweitert also zweitens die gewöhnliche Differenzierung. Meine Fragen lauten wie folgt, wenn das richtig ist:

Welche Verteilungen haben Stammfunktionen? Welche lokal integrierbaren Funktionen haben schwache Stammfunktionen? Im schwachen Fall scheint dies mit absoluter Kontinuität zu tun zu haben?
Es fällt mir leicht, eine Aussage zu formalisieren, die besagt, dass Ableitungen nur von lokalen Informationen für schwache Ableitungen abhängen. Aber gibt es so etwas auch für Distributionsderivate? Was würde es bedeuten, eine Verteilung lokal zu betrachten?
Was sind nur für schwache Ableitungen, die möglicherweise nicht existieren, einige Beispiele dafür, wann an $\alpha$ te Ableitung existiert, aber es existiert a $\beta\le \alpha$ wofür die $\beta$ te schwache Ableitung existiert nicht? Was wäre wenn stattdessen $\beta\ge \alpha$ , was nicht trivial sein kann, da ich nicht glaube, dass Stammfunktionen kostenlos sind?
Gibt es eine Heuristik, ähnlich wie für gewöhnliche Ableitungen, die es mir ermöglicht, zu sagen, ob die schwache Ableitung existiert, und vielleicht sogar die Antwort schnell zu berechnen? Im Moment kann ich nur sehen, dass, wenn die Funktion stückweise glatt ist, Sie das gesamte Verhalten außer an den Verbindungspunkten kennen, wenn eine schwache Ableitung existiert, und diese keine Rolle spielen, da die schwache Ableitung nur definiert ist bis zu ae Wenn Sie also einen guten Grund finden, warum diese Vermutung nicht funktioniert, dann könnte möglicherweise auch kein anderer Kandidat funktionieren.

(Ich lese aus Knapps Buch über Advanced Analysis)

Jeff

Ich habe ein Beispiel gefunden, das zeigt, dass die in (3.) vorgeschlagene Pathologie auftritt, sowie der andere Teil von (3.), den ich für weniger pathologisch halte. Für einen Fall, in dem Sie 1 Ableitung nehmen können, aber nicht 2, muss man nur in 1-dim schauen. Da kann man gucken

f (x) = x

$f(x)=x$ oder

0

$0$ nach als

x \geq 0

$x\ge0$ oder

x < 0

$x<0$ . Umgekehrt muss man in die 2-Dimension gehen und die Heaviside-Step-Funktion in Betracht ziehen

x

$x$ das hat ein

x y

$xy$ Ableitung von 0 aber ein

x

$x$ Ableitung, die als Verteilung eine Integration entlang der parametrisierten Linie wäre

x = 0

$x=0$ .

PhoemueX

zu (4): Eine Funktion in Dimension 1 ist genau dann schwach differenzierbar, wenn sie einen lokal absolut stetigen Repräsentanten hat. Dies bedeutet, dass es eine

L_{l o c}^{1}

$L^1_\mathrm{loc}$ Funktion

g

$g$ so dass

h (x) - h (y) = \int_{y}^{x} g (t) d t

$h(x) - h(y) = \int_y^x g(t) \, dt$ gilt für alle

x, y

$x,y$ , Wo

h

$h$ ist der kontinuierliche Vertreter von

f

$f$ . Dies impliziert, dass jede schwach differenzierbare Funktion stetig und fast überall differenzierbar ist. Es ist schwach differenzierbar gff

f^{'} \in L_{l o c}^{1}

$f' \in L^1_\mathrm{loc}$ mit

f (x) - f (y) = \int_{y}^{x} f^{'} (t) d t

$f(x) - f(y) = \int_y^x f'(t) \, dt$ fast überall (oder überall für den kontinuierlichen Vertreter).

Antworten (2)

Fragen zu schwachen Derivaten

Ich habe ein Beispiel gefunden, das zeigt, dass die in (3.) vorgeschlagene Pathologie auftritt, sowie der andere Teil von (3.), den ich für weniger pathologisch halte. Für einen Fall, in dem Sie 1 Ableitung nehmen können, aber nicht 2, muss man nur in 1-dim schauen. Da kann man gucken $f(x)=x$ oder $0$ nach als $x\ge0$ oder $x<0$ . Umgekehrt muss man in die 2-Dimension gehen und die Heaviside-Step-Funktion in Betracht ziehen $x$ das hat ein $xy$ Ableitung von 0 aber ein $x$ Ableitung, die als Verteilung eine Integration entlang der parametrisierten Linie wäre $x=0$ .
zu (4): Eine Funktion in Dimension 1 ist genau dann schwach differenzierbar, wenn sie einen lokal absolut stetigen Repräsentanten hat. Dies bedeutet, dass es eine $L^1_\mathrm{loc}$ Funktion $g$ so dass $h(x) - h(y) = \int_y^x g(t) \, dt$ gilt für alle $x,y$ , Wo $h$ ist der kontinuierliche Vertreter von $f$ . Dies impliziert, dass jede schwach differenzierbare Funktion stetig und fast überall differenzierbar ist. Es ist schwach differenzierbar gff $f' \in L^1_\mathrm{loc}$ mit $f(x) - f(y) = \int_y^x f'(t) \, dt$ fast überall (oder überall für den kontinuierlichen Vertreter).

bartgol · Answer 1

So:

Ja. $u$ ist AC gdw $\exists w\in L^1_{loc}$ so dass $u=\int w dx$ .
Nein. Distributionen sind per Definition Funktionale, nicht Funktionen. Einige Verteilungen können mit einer Funktion identifiziert werden (z. B. lineare Funktionale auf $L^1_{loc}$ ), aber im Allgemeinen macht es keinen Sinn, über den Wert einer Verteilung an einem Punkt im Raum zu sprechen. Über die Kopplung der Distribution kann man nur mit einer Testfunktion sprechen.
Nicht sicher was du meinst. Wenn die Ableitung einer integrierbaren Funktion existiert, muss sie mit ihrer schwachen Ableitung übereinstimmen. Also wenn $\beta\leq \alpha$ , die Existenz der $\alpha-th$ Ableitung impliziert die Existenz der $\beta-th$ schwache Ableitung. Umgekehrt ist es trivial: Nimm das Integral von $|x|$ , die eine (starke) Ableitung der Ordnung eins, eine schwache Ableitung der Ordnung 2, aber keine Ableitungen höherer Ordnung als 2 hat.
Ich bin mir nicht 100% sicher, ob das stimmt, aber ich habe das Gefühl, dass eine Funktion fast überall gleich einer AC-Funktion sein muss, um eine schwache Ableitung zu haben.

ad (2): Man kann an einem Punkt nicht über den Wert einer Distribution sprechen, aber es gibt Möglichkeiten, eine Distribution „lokal“ zu betrachten $f$ . Nämlich überlegen $\varphi \cdot f$ , Wo $\varphi$ ist gut lokalisiert $x$ (Und $\equiv 1$ auf einer kleinen Nachbarschaft von $x$ ). Zum Beispiel macht es Sinn, das zu sagen $f$ ist lokal $C^\infty$ bei $x$ . Das bedeutet nur, dass es eine Funktion gibt $\varphi$ wie oben damit $\varphi \cdot f$ ist durch Integration gegen a gegeben $C^\infty$ Funktion.
@PhoemueX, dazu müssen Sie eine bestimmte Art von Distributionen in Betracht ziehen, nämlich $L^1_{loc}$ Funktionen und berufen sich auf den Lebesgueschen Differenzierungssatz (auch bekannt als die Lebesgue-Version des Lagrange-Satzes für das Riemann-Integral). Aber selbst dann wäre die Paarung eine "kleine" Nummer, da $\varphi$ ist in einem kleinen Intervall konstant. Außerdem verstehe ich nicht, was du mit " $f$ ist lokal $C^\infty$ bei $x$ "... Die Funktion $\chi_\mathbb{Q}$ definiert eine Verteilung (da sie lokal integrierbar ist), aber sie ist nirgendwo kontinuierlich.
@bartgol: Siehe meine Antwort. Es erklärt ausführlicher, was ich sagen wollte.
@bartgol, für (3) fragt er, ob es zum Beispiel möglich ist, dass eine Funktion eine schwache 2. Ableitung hat, aber keine schwache 1. Ableitung.

PhoemueX · Answer 2

Ok, lassen Sie mich auf meine Kommentare eingehen. Im Folgenden schreibe ich "Verteilung", um eine Verteilung zu bezeichnen $C_c^\infty(\Omega)$ für einige feste offen $\Omega \subset \Bbb{R}^d$ .

Zunächst einmal jede Funktion $f \in L_\rm{loc}^1(\Omega)$ bewirkt eine Verteilung $\varphi_f$ An $C_c^\infty (\Omega)$ von

φ_{F} : C_{C}^{\infty} (Ω) \to K, G \mapsto \int_{Ω} F (X) G (X) D X .

$\varphi_f : C_c^\infty(\Omega) \to \Bbb{K}, g \mapsto \int_\Omega f(x) g(x) \, dx.$

Beachten Sie, dass die Karte $f \mapsto \varphi_f$ ist auf der Ebene einzelner Funktionen nicht injektiv. Aber $\varphi_f = \varphi_g$ gilt genau dann wenn $f = g$ fast überall.

Nun, wir sagen, dass eine Verteilung $\varphi$ ist Klasse $L^p$ (oder $C^\infty$ , oder $C_c^\infty$ , oder wenn $\varphi = \varphi_f$ hält für einige $f \in L^p$ (oder $f \in C^\infty$ , ...).

Schließlich können wir die Multiplikation einer beliebigen Verteilung definieren $\varphi$ mit Funktion $f \in C^\infty(\Omega)$ von

(F \cdot φ) (G) := φ (F \cdot G) für G \in C_{C}^{\infty} (Ω) .

$(f\cdot\varphi)(g) := \varphi(f \cdot g) \text{ for } g \in C_c^\infty(\Omega).$

Diese Definition ist natürlich, weil $\varphi_{f \cdot g} = f \cdot \varphi_g$ gilt für $g \in L_\rm{loc}^1$ Und $f \in C^\infty$ .

Nun können wir lokal von Verteilungen in folgendem Sinne sprechen: Wir sagen, dass eine Verteilung $\varphi$ ist Klasse $L^p$ , $C^\infty$ , ... bei $x \in \Omega$ (oder genauer gesagt auf einer Nachbarschaft von $x$ ), wenn es eine Funktion gibt $f \in C_c^\infty(\Omega)$ mit $f \equiv 1$ in einer Nachbarschaft von $x$ so dass $f \cdot \varphi$ ist Klasse $L^p$ , $C^\infty$ , ... (wie oben definiert).

EDIT: Es ist erwähnenswert, dass die Funktion $\chi_\Bbb{Q}$ , als Verteilung betrachtet, ist gleich der Nullverteilung. Somit, $\chi_\Bbb{Q}$ würde als Klasse gelten $C^\infty$ mit dieser Terminologie. Dies ist einfach eine Folge der Tatsache, dass Verteilungen (oder Integration gegen (glatte) Funktionen) Nullmengen nicht "sehen".

Aber schließlich $\chi_\Bbb{Q}$ ist fast überall gleich der Nullfunktion.

Auch auf bestimmten Domains (lassen Sie mich nehmen $\Omega = \Bbb{R}^d$ der Einfachheit halber kann man zeigen, dass Stammfunktionen zumindest für alle Verteilungen endlicher Ordnung existieren . Hier eine Verteilung $\varphi$ heißt von endlicher Ordnung, wenn

| φ (G) | \leq C \cdot “ G “_{N}

$|\varphi(g)| \leq C \cdot \Vert g \Vert_N$

gilt für alle $g \in C_c^\infty(\Omega)$ , für Konstanten $C>0$ , $N \in \Bbb{N}$ unabhängig von $g$ und mit

“ G “_{N} := max {| \partial^{a} G (X) | ∣ X \in Ω, | a | \leq N} .

$\Vert g \Vert_N := \max \{ |\partial^\alpha g(x)| \mid x\in \Omega, |\alpha|\leq N\}.$

Der Grund dafür ist folgender: Die Klasse der Verteilungen ist die kleinste Klasse, die alle stetigen Funktionen enthält, die auch abgeschlossene (schwache) Ableitungen sind. Genauer gesagt besagt Theorem 6.28 in Rudins Funktionsanalyse, dass für jede Verteilung $\Lambda$ An $\Omega$ , gibt es stetige Funktionen $g_\alpha$ In $\Omega$ für jeden Multiindex $\alpha$ , so dass

jeder kompakt $K \subset \Omega$ schneidet die Stützen von nur endlich vielen $g_\alpha$ Und
$\Lambda = \sum_\alpha D^{\alpha} g_\alpha$ .
Wenn $\Lambda$ ist also von endlicher Ordnung $g_\alpha \equiv 0$ für alle außer endlich vielen $\alpha$ .

Für jede $i \in \{1,\dots, d\}$ , können wir dann eine Stammfunktion (also eine stetige Funktion) wählen $g_\alpha '$ von $g_\alpha$ in Richtung $e_i$ , dh mit

\partial_{ich} G_{a}^{'} = G_{a},

$\partial_i g_\alpha' = g_\alpha,$

und mit $g_\alpha ' \equiv 0$ Wenn $g_\alpha \equiv 0$ . Um diese Stammfunktion zu wählen, haben wir verwendet $\Omega = \Bbb{R}^d$ .

Das sieht man dann leicht $\Gamma := \sum_\alpha g_\alpha'$ ist eine wohldefinierte Verteilung mit $\partial_i \Gamma = \Lambda$ .

Ich bin etwas unzufrieden mit der Terminologie, die eine Distribution ist $C^k$ (oder was auch immer) bei $x$ , da dies eher auf eine punktuelle als auf eine lokale Interpretation hindeuten könnte. Wenn die Terminologie nicht etabliert ist, ist es vielleicht besser, das zu sagen $\varphi$ Ist $C^k$ (oder ...) in einer Nachbarschaft von $x$ .
@DanielFischer: Danke für den Kommentar. Ich habe die Terminologie geändert. Ich glaube, ich habe den Ausdruck "glatt an $x$ " irgendwo, aber die alternative Terminologie ist präziser.

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