D(Rn)D(Rn)\mathcal D(\mathbb R^n) ist enthalten in S(Rn)S(Rn)\mathcal S(\mathbb R^n)

Der Satz glatter, kompakt unterstützter Funktionen ist im Schwartz-Raum enthalten. Es ist einigermaßen in Ordnung, die Schritte im Beweis dafür zu verstehen$\mathcal D$ist dicht drin$\mathcal S$aber es fällt mir sogar schwer zu verstehen, dass kompakt unterstützte glatte Funktionen auch Schwartz-Funktionen sind. Was ich getan habe, ist wie folgt:

1) Ich würde gerne jede reibungslose, kompakt unterstützte Funktion beweisen, sagen wir mal$u(x)$hat schnell zerfallende Derivate. besonders$|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)|\le C_{\alpha\beta}$für alle$\alpha$Und$\beta.$

Wir wissen das$u(x)$hat kompakte Unterstützung dh den Verschluss von$(u^{-1}(\{0\}))^{c}$ist kompakt.

Grob gesagt wissen wir das$u(x)$hat kontinuierliche Ableitungen unendlicher Ordnung dann nach Produktregel;$\big|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)\big|=\big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})\partial^{\gamma}(u(x))}\big|,$

3) Da wir das wissen$u(x)$kompakte Unterstützung hat, dh das Set, wo$u(x)\ne 0$kompakt ist und dann jede Ableitung von$u(x)$beliebiger Ordnung stetig ist, daher werden wir immer an die kompakten Teilmengen von denken$R^n,$dann bezieht sich jeder Begriff auf diese Summe$u(x)$wird begrenzt.

4) Wenn wir das Maximum der einzelnen Grenzwerte für die Ableitungen der nehmen$u(x)$sagen$M_{\alpha},$wir erhalten das folgende Ergebnis,

$\big|\partial^{\alpha}x^{\beta}u(x)\big|=\big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})\partial^{\gamma}(u(x))}\big|\le \big|\sum_{\eta+\gamma=\alpha}{\partial^{\eta}(x^{\beta})}\big|M_{\alpha} \le C_{\alpha\beta},$

5) Brauche ich die obige Aussage oder per Definition den Schwartzraum, da jede Ableitung von$u(x)\in C_{c}^{\infty}{(R^{n})}\subset C^{\infty}(R^{n}),$

6) dann gibt es eine äquivalente Halbnorm, das heißt$\big|x^{\beta}\partial^{\alpha}u(x)|\le C_{\alpha\beta}$für alle$\alpha$Und$\beta,$im Schwartz-Raum, dann da$\partial^{\gamma} u(x)\in C_{c}^{\infty}(R^n),$dann nach Definition der kompakt unterstützten glatten Funktion, dass diese auf kompakte Mengen beschränkt sind, sonst werden wir bekommen$0$, daher$u(x)$liegt im Schwarzraum.

7) Können Sie mir sagen, ob es eine andere Möglichkeit gibt, das zu erklären?$C_{c}^{\infty}(R^n)\subset \mathcal S(\mathbb R^n)$auf rigorose Weise?