Satz von Fubini über lokal kompakte Hausdorff-Räume ohne Maßtheorie

Nehme an, dass$X$ist ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Für eine Radonmessung$\mu$An$X$, lassen$I_{\mu}\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$sei die durch definierte positive lineare Funktion$I_{\mu}(f):=\int_{X}f \ \text{d}\mu$. Der Riesz-Darstellungssatz impliziert, dass die Zuordnung$\mu\mapsto I_{\mu}$implementiert eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen (positiven) Radon-Maßnahmen$X$und positive lineare Funktionale auf$C_{c}(X)$. Man könnte also ein Integral über definieren$X$als positive lineare Funktion$I\colon C_{c}(X)\to\mathbb{C}$. Diese Definition stützt sich nicht auf die Maßtheorie. Ich habe mich gefragt, ob wir den Satz von Fubini in dieser Umgebung beweisen können, dh ohne Bezugnahme auf die Maßtheorie.

Genauer gesagt, kennt jemand einen Beweis oder eine Referenz der folgenden Aussage ohne Maßtheorie?

Lassen$I$Und$J$seien positive lineare Funktionale (dh Integrale) auf lokal kompakten Hausdorff-Räumen$X$Und$Y$, bzw. Für$f\in C_{c}(X\times Y)$Und$y\in Y$wir definieren$f^{y}\colon X\to\mathbb{C}$über$f^{y}(x):=f(x,y)$. Für$x\in X$wir definieren$f_{x}\colon Y\to\mathbb{C}$ähnlich. Die Funktionen$x\mapsto J(f_{x})$Und$y\mapsto I(f^{y})$werden kompakt unterstützt und

$$I(x\mapsto J(f_{x}))=J(y\mapsto I(f^{y})).$$