Abgleich mehrerer unterschiedlicher Definitionen von Radon-Maßnahmen

Bei der Überprüfung einiger grundlegender realer Analysen bin ich auf zwei verschiedene Definitionen für die Radonmessung gestoßen. Lassen Sie den darunter liegenden Raum X sei lokal kompakt und Hausdorff. Folland's Real Analysis gibt die Definition

Ein Radon-Maß ist ein Borel-Maß, das auf allen kompakten Mengen endlich ist, auf Borel-Mengen äußeres reguläres und auf offenen Mengen inneres reguläres.

Folland fährt fort zu beweisen, dass eine Radon-Messung innerlich regelmäßig ist σ -endliche Mengen, und bemerkt, dass eine vollständige innere Regularität zu viel verlangt ist, insbesondere im Zusammenhang mit dem Riesz-Darstellungssatz für positive lineare Funktionale C C ( X ) . Wenn ich mich recht erinnere, scheint Follands Ansatz mit dem Ansatz von Rudin übereinzustimmen.

Ich habe jedoch von anderen sowie von Wikipedia gehört , dass ein Radon-Maß als ein Borel-Maß definiert ist, das lokal endlich ist (was auf kompakten Mengen für LCH-Räume endlich ist) und inner regulär ist, und keine Erwähnung der äußeren Regularität.

Keine der Definitionen scheint sich gut mit Bourbakis Ansatz zu verbinden, Radonmaße als positive lineare Funktionale zu definieren C C ( X ) , weil, zumindest laut Wikipedia-Artikel zum Riesz-Darstellungssatz , eine positive Linearfunktion auf C C ( X ) entspricht eindeutig einem regulären Borel-Maß, das in jeder der beiden oben angegebenen Definitionen stärker ist als Radon.

Leider habe ich keine fortgeschritteneren Analyse-Abhandlungen, mit denen ich vergleichen könnte, also hoffte ich, dass jemand diese Diskrepanz aufklären könnte.

Antworten (1)

Ein Standardbeispiel sind die reellen Zahlen mal die reellen Zahlen mit der diskreten Topologie: X = R × R D .

Dies ist ein lokal kompakter metrisierbarer Raum. Die kompakten Teilmengen schneiden nur endlich viele horizontale Linien, und jeder dieser nicht leeren Schnittpunkte muss kompakt sein. Ein Borel-Set E ⊂ X schneidet jede horizontale Scheibe E j in einem Borel-Set.

Betrachten Sie das folgende Borel-Maß wo λ ist Lebesgue-Maß an R :

μ ( E ) = ∑ j λ ( E j ) .
Dies lässt sich leicht überprüfen, um ein inneres reguläres Borel-Maß zu definieren, und seine Nullsätze sind genau die Borel-Mengen, die jede horizontale Linie in einem Nullsatz schneiden. Vor allem die Diagonale Δ = { ( X , X ) : X ∈ R } ist eine Nullmenge. Jedoch enthält jede offene Menge Δ muss jede horizontale Linie in einem Satz positiver Maße schneiden, also muss sie ein unendliches Maß haben und daher μ ist nicht äußerlich regulär.

Jetzt definieren v nach der gleichen Formel wie μ Wenn E schneidet nur abzählbar viele horizontale Linien und setzt v ( E ) = ∞ Wenn E schneidet unzählige horizontale Linien. Nun diese Maßnahme v ist inner regulär auf offenen Mengen und äußer regulär auf Borel-Mengen.

Schließlich können Sie das überprüfen μ Und v Weisen Sie kompakt unterstützten stetigen Funktionen in dasselbe Integral zu X .

Eine gute Diskussion der Probleme, auf die Sie stoßen, ohne σ - Kompaktheit in den Notizen von Arveson und auch in den Notizen von Lanford , denen die obige Diskussion entnommen ist.
Ich versuche zu verstehen, wie ich die Diskrepanz basierend auf Ihrer Antwort lösen kann. Bedeutet dies, dass die beiden oben angegebenen Definitionen des Radonmaßes beide zu Eindeutigkeitsergebnissen im Riesz-Darstellungssatz führen, aber dass sie einfach unterschiedlich sind? Ist das auf Wikipedia angegebene Ergebnis falsch?
@ChristopherA.Wong: Es gibt zwei Versionen der Eindeutigkeit im Riesz-Darstellungssatz: Es gibt ein eindeutiges inneres reguläres Maß und es gibt ein eindeutiges quasi-reguläres Maß (äußeres reguläres Maß bei Borel-Mengen und inneres reguläres Maß bei offenen Mengen). Quasi-reguläre Maße sind innerlich regulär auf messbaren Mengen von σ - endliches Maß, also das Maß v Hier ist diejenige, die Sie aus dem Riesz-Darstellungssatz mit Regelmäßigkeit erhalten, wie auf Wikipedia vor dem Satz angegeben. Sie können unterschiedliche Maßnahmen erhalten. Die Verknüpfung zu regulären Borel-Maßen im dortigen Theorem ist ohne weitere Annahmen zu X falsch.
@commenter, Perfekt, das ist genau das, wonach ich suche. Das einzig Traurige für mich ist, dass dies bedeutet, dass zwei verschiedene Definitionen des Radonmaßes herumschwirren, die jeweils einem sehr ähnlichen Darstellungssatz entsprechen.
@Christopher: Beide Versionen haben ihre Vorzüge und ihre Nachteile ----(gehen Sie über die lokale Kompaktheit hinaus und die Dinge werden wirklich haarig, siehe zB Bogachev oder Fremlins Band 4, Kapitel 43 ... :-)) Lanfords Notizen konstruieren zunächst eine Quasi-Regular Version einer funktionalen Version und ändern Sie sie dann in eine innere reguläre Version. Ein technischer Punkt zum Nachdenken: Für innere reguläre Maße gibt es keinen Unterschied zwischen lokal Nullmengen ( μ ( N ∩ K ) = 0 für kompakt K ) und Nullmengen. Die Diagonale Δ in der Antwort von Hyperspace ist μ -null und lokal v -null aber nicht v -null, wie v ( Δ ) = ∞ ...
Wow, das ist so überraschend. Die Verbindung zu Lanfords Notizen ist unterbrochen; Wissen Sie, wo ich mehr über die beiden unterschiedlichen Eindeutigkeitsergebnisse lesen kann? Soweit ich weiß, gibt es Ihnen eine Entsprechung zwischen quasi-regulären und inner-regulären Maßen, was auch interessant ist ...
Bedeutet dies, dass Sie auch zwei Arten von Haar-Maßen für lokal kompakte (nicht-sigma-kompakte) Gruppen haben können? Eines, das quasi regulär ist, und eines, das innerlich regulär ist?
Abgleich mehrerer unterschiedlicher Definitionen von Radon-Maßnahmen
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