Einfaches ODE-Problem in einer Arbeit von Peter Lax aus dem Jahr 1964

Die Arbeit "*Entwicklung von Singularitäten von Lösungen der nichtlinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichung" von Peter D.Lax (1964). Es beginnt mit einem einfachen Satz über ODEs.

Satz: Sei$z(t)$sei die Lösung des Anfangswertproblems

$$dz/dt =a(t)z^2,\ \ \ z(0)=m$$ im Intervall$(0,T)$. Angenommen, die Funktion$a(t)$erfüllt die Ungleichung $$0<A<a(t),\ \ \ \ \ \ 0\leq t\leq T,$$ und nehme das an$m$ist positiv;

Dann

$$T<(mA)^{-1}$$

der Beweis von Lax folgt

Lassen$z_0(t)$sei die Lösung der Vergleichsgleichung

$$dz_0/dt=Az_0^2,\ \ \ z_0(0)=m.$$

Da A die untere Schranke für ist$a(t)$, daraus folgt leicht$z_0(t)$ist die untere Schranke für$z(t)$für alle positiven t.

Seit$z_0=m/(1-mAt)\rightarrow \infty\ \ at\ \ t=(mA)^{-1}$, es folgt dem$z(t)$kann nicht über diese Zeit hinaus existieren.$Q.E.D$

Ich versuche zu überprüfen "Da A die untere Grenze für ist$a(t)$, daraus folgt leicht$z_0(t)$ist die untere Schranke für$z(t)$für alle positiven t." auf diese Weise.

Um dies zu beweisen, denke ich ein folgendes Lemma.

(Mein Lemma) lassen$g:[0,T)\rightarrow \mathbb{R}$eine Funktion sein, die folgt;

ich)$g(0)\geq 0$; ii)$g'(0)>0$; dh$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0$st$0<t<\delta$implizieren$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<\epsilon$

Dann$\exists T^*\in (0,T)$st$g(t)\geq 0\ \ for\ t \in [0,T^*)$

Beweis) Aus meiner Annahme, lasst$\epsilon= g'(0)/2$dann bestehen$\delta>0$st$t\in(0,\delta)$

$$|\frac{g(t)-g(0)}{t}-g'(0)|<g'(0)/2$$

Deshalb

$$g'(0)/2<[g(t)-g(0)]/t<3g'(0)/2\ \ \ for \ t \in (0,\delta)$$ $$g(t)>g'(0)t/2+g(0)>0\ \ for\ t\in(0,\delta)$$ Weil$g(0)\geq 0$,$g(t)\geq0\ \ \ \ for\ \ \ t \in [0,\delta)$. lassen$\delta= T*$dann ist der Beweis erbracht.

Beweisen Sie nun "Da A die untere Schranke für ist$a(t)$, daraus folgt leicht$z_0(t)$ist die untere Schranke für$z(t)$für alle positiven t."

Anspruch) lassen$z(t),z_0(t)$Erfüllen Sie dann den obigen Vorschlag$z_0(t)\leq z(t)$für$t \in [0,T)$.

(mein Beweis) lassen$g(t)=z(t)-z_0(t)$für$t \in [0,T)$Dann$g(0)=m-m=0, g'(0)=(a(0)-A)m^2>0$Deshalb$g(t)$den Vorschlag meines Lemmas erfüllen. Deshalb$\exists T^*\in (0,T)$st$t \in [0,T^*)$implizieren$g(t)\geq 0$.

Genau genommen,$g(t)>0$für$t\in(0,T^*)$. Deshalb$z(t)\geq z_0(t)$für$t \in [0,T^*)$,$z(t)> z_0(t)$für$t\in(0,T^*)$.

Angenommen, es gibt einen Widerspruch$T_p \in [T^*,T)$st$z_0(T_p)>z(T_p)$; dh$g(T_p)<0$.

Dann gibt es$T_1\in [T^*,T_p)$st i)$g(T_1)=0$; ii)$g(t)>0$für$t\in (0,T_1)$iii)$\exists \eta>0$st$g(t)<0$für$t\in(T_1,T_1+\eta)$

dh) es gibt$T_1$welche$g(t)$zuerst vom positiven Wert zum negativen Wert durchlaufen.

dann finden wir Widerspruch, at$t=T_1$,$g'(T_1)=a(T_1)z(T_1)^2-A z_0(T_1)^2=(a(T_1)-A)z_0(T_1)^2>0$beachten Sie, dass$z_0(T_1)= m/(1-mAt)>0$

nach meinem Lemma gibt es$T^{**}\in (T_1,T)$st$t\in [T_1,T^{**})$implizieren$g(t)\geq 0$;

Deshalb$z(t)-z_0(t)=g(t)\geq 0 \ \ \forall t\in [0,T)$.$z_0 is lower bound of z.$

Das ist mein Beweis,

aber ich denke, dass mein Beweis einige Fehler enthält.

Erstens ist z die Lösung für$dz/dt=a(t)z^2, \ \ \ z(0)=m$In$(0,T)$aber ich benutze$z'(0)-z_0'(0)>0$aber für meinen Beweis$z'$ist nicht definiert für$t=0$

Zweitens verwende ich "es gibt$T_1$welche$g(t)$zuerst vom positiven Wert zum negativen Wert durchgehen.", aber eigentlich weiß ich nicht, wie ich diesen Satz verdeutlichen soll.

Wenn Sie eine Idee haben, um meinen Beweis zu verdeutlichen, oder wenn Sie eine bessere Idee haben, um zu beweisen, dass "A die untere Grenze für ist$a(t)$, daraus folgt leicht$z_0(t)$ist die untere Schranke für$z(t)$für alle positiven t.",

Bitte geben Sie mir etwas Hilfe.