Finden Sie die Verteilungsgrenze der Verteilungsfolge

Question

Finden Sie die Verteilungsgrenze der Verteilungsfolge

Mathematik
Realanalyse
Verteilungstheorie
partielle Differentialgleichungen

s0ggyj0hns0n

Finden Sie die Verteilungsgrenze der Folge von Verteilungen

$F_{N} = N δ_{- \frac{1}{N}} - N δ_{\frac{1}{N}}$ $F_n=n\delta_{-\frac{1}{n}}-n\delta_{\frac{1}{n}}$

Hinweis: $F_n$ ist die Verteilungsableitung einer Funktion

Bisher habe ich versucht, rückwärts in Richtung der Definition der Verteilungsableitung zu arbeiten, um den Hinweis zu nutzen:

F_{N} = N δ_{- \frac{1}{N}} - N δ_{\frac{1}{N}}

$F_n=n\delta_{-\frac{1}{n}}-n\delta_{\frac{1}{n}}$

F_{N} =< N δ_{- \frac{1}{N}}, ϕ > - < N δ_{\frac{1}{N}}, ϕ >

$F_n=<n\delta_{-\frac{1}{n}},\phi>-<n\delta_{\frac{1}{n}},\phi>$

N \int_{- 1 / N}^{1 / N} ϕ^{'} (X) D X

$n\int_{-1/n}^{1/n}\phi'(x) \ dx$

- \int_{R} F (X) ϕ^{'} (X) D X

$-\int_{\mathbb{R}}f(x)\phi'(x) \ dx$

- < F, ϕ^{'} > = < F^{'}, ϕ >

$-<f,\phi'> \ = \ <f',\phi>$ Wo

F (X) = {\begin{cases} - N & - \frac{1}{N} \leq X \leq \frac{1}{N} \\ 0 & ansonsten \end{cases}

$f(x) = \begin{cases} -n & \text{$-\frac{1}{n}\le x\le\frac{1}{n}$} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Aber ich bin mir nicht sicher, wie ich von hier aus weiter vorgehen soll und wie mich das Befolgen dieses Hinweises der Antwort näher gebracht hat.

Jede Hilfe wird sehr geschätzt!

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Hyperebene · Answer 1

Nehmen Sie eine Testfunktion $\phi$ , Dann

⟨ F_{N}, ϕ ⟩ = \int N (δ (X + \frac{1}{N}) - δ (X - \frac{1}{N})) ϕ (X) D X = N (ϕ (- \frac{1}{N}) - ϕ (+ \frac{1}{N})) \overset{N \to \infty}{⟶} - 2 ϕ^{'} (0)

$\langle F_n, \phi\rangle = \int n\big(\delta(x+\tfrac 1n) - \delta(x-\tfrac 1n)\big)\phi(x) d x = n\big(\phi(-\tfrac 1n)-\phi(+\tfrac 1n)\big) \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} -2\phi'(0)$

Also die Grenzverteilung $F$ ist das lineare Funktional $F(\phi) = -2\phi'(0)$ . Insbesondere $F=2\delta'$ .

wie bist du hingekommen $-2\phi'(0)$ für wann $n\rightarrow\infty$ ?
@nickoba en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_derivative Beachten Sie das $\phi$ ist nach Annahme glatt.
Die -2 wirft mich immer noch aus der Fassung, könnten Sie diesen Teil davon erklären? denn würde es nicht sein $\infty$ statt -2?
@nickoba Es ist $-2\phi'(0)$ aber es gab einen kleinen Vorzeichenfehler, den ich jetzt behoben habe. Wir haben $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h} = f'(x)$ . Ersatz $x=0$ , $h=1/n$ Und $f=\phi$ .

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s0ggyj0hns0n

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Benutzer481532

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Hyperebene

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