Definition einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

Question

Definition einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

Mathematik
partielle Ableitung
partielle Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen

anonym

Eigentlich bin ich etwas verwirrt über die Definition. Ich habe zwei drei Artikel gelesen, konnte aber nicht herausfinden, welche Art von Gleichungen als nichtlineare partielle Differentialgleichung bezeichnet werden. Artikel folgen.

https://en.wikiversity.org/wiki/Partial_differential_equations https://www.slideshare.net/jayanshugundaniya9/advanced-engineering-mathematics-first-order-nonlinear-partial-differential-equation-its-applications https:// mat.iitm.ac.in/home/sryedida/public_html/caimna/pde/forth/forth.html

$pq = 0$ wird eine nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung sein? p,q sind übliche Schreibweisen in PDE.

Bitte stimmen Sie nicht ab. Ich weiß, es ist eine dumme Frage. Aber ich bin wirklich verwirrt. Bitte hilf mir. Ich freue mich auf Ihre Antwort.

Shinaolord

Eine nichtlineare pde ist eine pde, bei der die gewünschte(n) Funktion(en) und/oder ihre Ableitungen entweder eine Potenz haben

\neq 1

$\neq 1$ oder ist in einer nichtlinearen Funktion wie enthalten

\exp, \sin

$\exp, \sin$ etc zum Beispiel, wenn

ρ : R^{4} \to R

$\rho:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}$ wobei drei der Eingaben räumliche Koordinaten sind, dann ein Beispiel für linear:

\partial_{T} ρ = \nabla^{2} ρ

$\partial_t \rho = \nabla^2\rho$ und jetzt für nichtlineare nichtlineare

P A R T ich A l_{T} ρ = \nabla^{2} ρ + C Ö S ρ

$partial_t \rho = \nabla^2\rho+ cos\rho$

anonym

so ist mein Beispiel "

p q = 0

$pq = 0$ "?

Shinaolord

Können Sie genau definieren, was p und q sind, oder mich genau darauf hinweisen, welcher Link sie definiert? Ich bin mit dieser Notation nicht vertraut und habe sie in den Links nicht gesehen, aber ich habe sie möglicherweise übersehen.

anonym

p ist delz bi delx und delz bi delq.. Ich weiß nicht, wie ich sie hier schreiben soll. Bitte verzeihen Sie mir, dass ich so schreibe.

Shinaolord

Ahh jetzt sehe ich es. Ein nichtlinearer pde ist auch ein pde, bei dem die Koordinaten nichtlinear sind. Beispiel::

\partial_{T} F (X, j, z, T) = \nabla^{2} F (X, j, z, T) + X j - j z

$\partial_t f(x,y,z,t)= \nabla^2 f(x,y,z,t)+xy-yz$ Die

x y

$xy$ Und

y z

$yz$ mach es nichtlinear. P und q sind analog zu xyz und/oder t.

anonym

bedeutet? @ user57404

Shinaolord

In Ihrer Notation, Beispiel::

\partial_{T} F (P, Q) = \nabla^{2} F (P, Q) + P Q

$\partial_t f(p,q)= \nabla^2 f(p,q)+pq$ ist wegen pq nichtlinear

Shinaolord

Es war eine Autokorrektur von meinem Telefon für "pde" oder partielle Differentialgleichung. Entschuldigen Sie.

Shinaolord

Auch für dels verwenden Sie \Delta. Beispiel::

\frac{Δ z}{Δ X}

$\frac{\Delta{z}}{\Delta{x}}$

anonym

Abgesehen davon, dass sie größer als eins ist, wenn eine Differentialgleichung eine nichtlineare Funktion von p oder q hat (z. B. -

s i n p

$sinp$ ,

s i n q

$sinq$ oder

p q

$pq$ ,

e^{p}

$e^p$ ), dann nennen wir es eine nichtlineare pde? Habe ich recht?

Shinaolord

Grundsätzlich ja. Es ist eine ziemlich breite Definition, da alles, was nicht linear ist, hineinpasst. Auf die gleiche Weise definieren wir nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen.

anonym

+ (c o s 0)

$+(cos0)$ ...Du kannst eine frische Antwort schreiben. Ich würde es als meine Antwort akzeptieren.

Shinaolord

Und beachten Sie, dass es separate Methoden zum Lösen entweder numerisch oder symbolisch für verschiedene Arten von Nichtlinearitäten gibt, zum Beispiel: Die Cauchy-Euler-ODE ist nichtlinear, aber wir können sie symbolisch lösen. Aber diese Methode funktioniert möglicherweise nicht für andere Klassen von Nichtlinearität.

Michael Hardy

@Shinaolord: Standardnutzung ist

\cos ρ,

$\cos\rho,$ nicht

c o s ρ .

$cos\rho.$ Es wird als \cos\rho kodiert. Dies unterscheidet sich von \text{cos}\rho dadurch, dass es kontextabhängige Abstände gibt, wie in zu sehen ist

2 \cos ρ

$2\cos\rho$ Und

2 \cos (ρ) .

$2\cos(\rho). \qquad$

Gefälschter Fehler

Weißt du, was eine lineare Karte ist? Wenn

u

$u$ ist die unbekannte Funktion und

L

$L$ ein Differentialoperator mit

L (u) = v

$L(u)=v$ , dann die Differentialgleichung

L (u) = v

$L(u)=v$ ich nichtlinear, wenn

L (u_{1} + u_{2}) \neq L (u_{1}) + L (u_{2})

$L(u_1+u_2)\neq L(u_1)+L(u_2)$ oder

L (λ u) \neq λ L (u)

$L(\lambda u)\neq \lambda L(u)$

Antworten (3)

Definition einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

Eine nichtlineare pde ist eine pde, bei der die gewünschte(n) Funktion(en) und/oder ihre Ableitungen entweder eine Potenz haben $\neq 1$ oder ist in einer nichtlinearen Funktion wie enthalten $\exp, \sin$ etc zum Beispiel, wenn $\rho:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}$ wobei drei der Eingaben räumliche Koordinaten sind, dann ein Beispiel für linear: $\partial_{T} ρ = \nabla^{2} ρ$ $\partial_t \rho = \nabla^2\rho$ und jetzt für nichtlineare nichtlineare $P A R T ich A l_{T} ρ = \nabla^{2} ρ + C Ö S ρ$ $partial_t \rho = \nabla^2\rho+ cos\rho$
Können Sie genau definieren, was p und q sind, oder mich genau darauf hinweisen, welcher Link sie definiert? Ich bin mit dieser Notation nicht vertraut und habe sie in den Links nicht gesehen, aber ich habe sie möglicherweise übersehen.
p ist delz bi delx und delz bi delq.. Ich weiß nicht, wie ich sie hier schreiben soll. Bitte verzeihen Sie mir, dass ich so schreibe.
Ahh jetzt sehe ich es. Ein nichtlinearer pde ist auch ein pde, bei dem die Koordinaten nichtlinear sind. Beispiel:: $\partial_{T} F (X, j, z, T) = \nabla^{2} F (X, j, z, T) + X j - j z$ $\partial_t f(x,y,z,t)= \nabla^2 f(x,y,z,t)+xy-yz$ Die $xy$ Und $yz$ mach es nichtlinear. P und q sind analog zu xyz und/oder t.
In Ihrer Notation, Beispiel:: $\partial_{T} F (P, Q) = \nabla^{2} F (P, Q) + P Q$ $\partial_t f(p,q)= \nabla^2 f(p,q)+pq$ ist wegen pq nichtlinear
Es war eine Autokorrektur von meinem Telefon für "pde" oder partielle Differentialgleichung. Entschuldigen Sie.
Auch für dels verwenden Sie \Delta. Beispiel:: $\frac{Δ z}{Δ X}$ $\frac{\Delta{z}}{\Delta{x}}$
Abgesehen davon, dass sie größer als eins ist, wenn eine Differentialgleichung eine nichtlineare Funktion von p oder q hat (z. B. - $sinp$ , $sinq$ oder $pq$ , $e^p$ ), dann nennen wir es eine nichtlineare pde? Habe ich recht?
Grundsätzlich ja. Es ist eine ziemlich breite Definition, da alles, was nicht linear ist, hineinpasst. Auf die gleiche Weise definieren wir nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen.
$+(cos0)$ ...Du kannst eine frische Antwort schreiben. Ich würde es als meine Antwort akzeptieren.
Und beachten Sie, dass es separate Methoden zum Lösen entweder numerisch oder symbolisch für verschiedene Arten von Nichtlinearitäten gibt, zum Beispiel: Die Cauchy-Euler-ODE ist nichtlinear, aber wir können sie symbolisch lösen. Aber diese Methode funktioniert möglicherweise nicht für andere Klassen von Nichtlinearität.
@Shinaolord: Standardnutzung ist $\cos\rho,$ nicht $cos\rho.$ Es wird als \cos\rho kodiert. Dies unterscheidet sich von \text{cos}\rho dadurch, dass es kontextabhängige Abstände gibt, wie in zu sehen ist $2\cos\rho$ Und $2\cos(\rho). \qquad$
Weißt du, was eine lineare Karte ist? Wenn $u$ ist die unbekannte Funktion und $L$ ein Differentialoperator mit $L(u)=v$ , dann die Differentialgleichung $L(u)=v$ ich nichtlinear, wenn $L(u_1+u_2)\neq L(u_1)+L(u_2)$ oder $L(\lambda u)\neq \lambda L(u)$

Shinaolord · Answer 1

Eine nichtlineare pde ist eine pde, bei der entweder die gewünschte(n) Funktion(en) und/oder ihre Ableitungen entweder eine Potenz haben $\neq 1$ oder ist in einer nichtlinearen Funktion wie enthalten $\exp, \sin$ etc, oder die Koordinaten sind nichtlinear. zum Beispiel wenn $\rho:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}$ wobei drei der Eingaben räumliche Koordinaten sind, dann ein Beispiel für linear:

\partial_{T} ρ = \nabla^{2} ρ

$\partial_t \rho = \nabla^2\rho$ und jetzt für nichtlineare nichtlineare

\partial_{T} ρ = \nabla^{2} ρ + \cos ρ

$\partial_t \rho = \nabla^2\rho+ \cos\rho$

Wie eingangs gesagt, kann eine nichtlineare pde auch eine pde sein, bei der die Koordinaten nichtlinear sind. Beispiel::

\partial_{T} ρ (X, j, z, T) = \nabla^{2} ρ (X, j, z, T) + X j - j z

$\partial_t \rho(x,y,z,t)= \nabla^2 \rho(x,y,z,t)+xy-yz$ Die

x y

$xy$ Und

y z

$yz$ mach es nichtlinear. P und q sind analog zu xyz und/oder t.

\partial_{T} ρ (X, j, z, T) = \nabla^{2} ρ (X, j, z, T) + X^{\frac{13}{21}}

$\partial_t \rho(x,y,z,t)= \nabla^2 \rho(x,y,z,t)+x^{\frac{13}{21}}$ Ist auch nichtlinear.

In Ihrer Notation, Beispiel::

\partial_{T} ρ (P, Q) = \nabla^{2} ρ (P, Q) + P Q

$\partial_t \rho(p,q)= \nabla^2 \rho(p,q)+pq$ ist aufgrund von nichtlinear

p q

$pq$

TurlocTheRed · Answer 2

Hier ist ein Beispiel für das Finden von Geodäten auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit:

{\ddot{X}}^{k} = - Γ_{ich J}^{k} {\dot{X}}^{ich} {\dot{X}}^{J} .

$\ddot{x}^k=-\Gamma_{ij}^k\dot{x}^i\dot{x}^j.$

Dies ist keine PDE, dies ist nur eine gewöhnliche Differentialgleichung (oder ein System davon).
Guter Punkt. Ich kann mich nicht entscheiden, ob ich es entfernen soll. Es ist nichtlinear, was meiner Meinung nach die hervorstechendere Komponente ist, und die Christoffel-Symbole werden unter Verwendung partieller Ableitungen abgeleitet, aber letztendlich ist es keine PDE.

Lutz Lehmann · Answer 3

Was Sie suchen, sind Funktionen $F(x,y,z,p,q)$ die nichtlinear sind $p$ Und $q$ und die eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung über definieren

0 = F (X, j, u (X, j), u_{X} (X, j), u_{j} (X, j)) .

$0=F(x,y,u(x,y),u_x(x,y),u_y(x,y)).$ Der übliche Trick besteht darin, die Lagrange-Charpit-Gleichungen aufzustellen

D S = \frac{D X}{F_{P}} = \frac{D j}{F_{Q}} = \frac{D z}{P F_{P} + Q F_{Q}} = - \frac{D P}{F_{X} + P F_{z}} = - \frac{D Q}{F_{j} + Q F_{z}} .

$ds=\frac{dx}{F_p}=\frac{dy}{F_q}=\frac{dz}{pF_p+qF_q}=-\frac{dp}{F_x+pF_z}=-\frac{dq}{F_y+qF_z}.$ für die Kennlinien und stellen daraus eine Schar zur Lösungsfläche zusammen

z = u (x, y)

$z=u(x,y)$ .

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Michael Hardy

Gefälschter Fehler

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TurlocTheRed

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Lutz Lehmann

Weiß jemand wie man diese Differentialgleichung löst?

Lösen der nicht exakten Differentialgleichung

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