Wann kann man die Leibniz-Regel zur Integration verwenden?

TL;DR, wenn die partielle Ableitung$\frac{\partial f}{\partial t}$in den Variablen gemeinsam stetig ist$x$Und$t$, dann gilt die Leibniz-Regel. Wenn Sie das Lebesgue-Integral verwenden (das Ihnen den Satz der dominierten Konvergenz liefert), kann diese Bedingung gelockert werden.

Leibniz-Regel für die Riemann-Integration

Beim Arbeiten mit Riemann-Integralen ist das Standardkriterium für das Wechseln eines Grenzwerts und eines Integralzeichens die folgende Aussage (dies ist tatsächlich ein Spezialfall des Satzes der dominierten Konvergenz), der auf gleichmäßiger Konvergenz beruht:

Satz 1. (Vertauschung von Grenzwerten und Integralen) Wenn$g_n : [a, b] \to \mathbb{R}$ist eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Riemann-integrierbare Funktion konvergiert$g : [a, b] \to \mathbb{R}$, Dann

$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g_n(x)\mathrm{d}x = \int_a^b g(x)\mathrm{d}x.$$

Mit diesem Ergebnis können wir eine Leibniz-Regel für die Riemann-Integration aufstellen. Da die Notation mit mehreren Variablen verwirrend werden kann, lassen Sie uns definieren$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$die Funktion sein

$$F(t) = \int_a^b f(x, t)\mathrm{d}x,$$ Wo$f : [a, b] \times \mathbb{R}$ist die Funktion in Ihrer Frage. Für eine feste$t_0 \in \mathbb{R}$, würden wir gerne herausfinden, ob$F'(t_0)$existiert und ob sie durch die Leibniz-Regel gewonnen werden kann. Die wichtigste Beobachtung ist, dass wir Differenzierung als Grenzwert schreiben können $$\tag{1} F'(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{F(t_0 + h) - F(t_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{f(x, t_0 + h) - f(x, t_0)}{h} \mathrm{d}x.$$ Um Satz 1 anzuwenden, möchten wir, dass der Differenzenquotient gleichmäßig konvergiert. (Das heißt, für jede Sequenz$h_n \to 0$, der Differenzenquotient$\frac{f(x, t_0 + h_n) - f(x, t_0)}{h_n}$sollte gleichmäßig in konvergieren$x$.) Allerdings ist der Differenzenquotient etwas umständlich zu handhaben, aber wir können stattdessen den Mittelwertsatz verwenden, um zu schreiben $$\tag{2} F'(t_0) = \lim_{h \to 0} \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t_0 + h_x) \mathrm{d}x,$$ Wo$|h_x| \leq |h|$für alle$x \in [a, b]$. Dies führt zu folgendem Ergebnis.

Satz 2. (Leibniz-Regel für die Riemann-Integration) Let$f, F, t_0$wie oben definiert werden. Wenn$\frac{\partial f}{\partial t}$ist auf einem Rechteck stetig$[a, b] \times [t_0 - \delta, t_0 + \delta]$, Dann$F'(t_0)$existiert und ist durch die Formel gegeben

$$F'(t_0) = \int_a^b \frac{\partial{f}}{\partial t}(x, t_0) \mathrm{d}x.$$ Insbesondere wenn$\frac{\partial f}{\partial t}$ist durchgehend auf allen$[a, b] \times \mathbb{R}$,$F$ist überall differenzierbar und kann durch die Leibniz-Regel bestimmt werden.

Von$(2)$, es genügt, dies für alle Folgen zu zeigen$h_n \to 0$, die Funktionen

$$g_n(x) := \frac{\partial f}{\partial t}(x, t_0 + (h_n)_x)$$ konvergieren gleichmäßig zu$g(x) := \frac{\partial f}{\partial t}(x)$. Dies kann durch Nutzung der gleichmäßigen Kontinuität von erfolgen$\frac{\partial f}{\partial t}$. Den Rest des Beweises überlasse ich Ihnen.

Auch (wenn ich das richtig verstehe) Ihr Kriterium von$f(x, t + 1 / n)$konvergiert gleichmäßig zu$f(x, t)$funktioniert nicht genau. Zum einen sagt es nichts über die gleichmäßige Konvergenz des Differenzenquotienten in aus$(1)$da es nur mit diskreten Zeitschritten von arbeitet$1 / n$. Selbst wenn$f(x, t + h)$gleichmäßig konvergieren sollten$f(x, t)$als$h \to 0$, würde es keine gleichmäßige Konvergenz des Differenzenquotienten garantieren (es garantiert nicht einmal die Existenz einer Ableitung!).

Leibniz-Regel für die Lebesgue-Integration

Schließlich ist hier ein Kriterium für die Leibniz-Regel, wenn wir das Lebesgue-Integral verwenden.

Satz 3. (Leibniz-Regel für die Lebesgue-Integration) Let$X$sei eine offene Teilmenge von$\mathbb{R}$. Lassen$f : [a, b] \times X \to \mathbb{R}$eine integrierbare Lebesgue-Funktion sein, so dass die partielle Ableitung$\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)$gibt es überall. Angenommen, es gibt eine Lebesgue-integrierbare Funktion$g : [a, b] \to [0, +\infty]$so dass$\int_a^b g(x)\mathrm{d}x$ist endlich und$\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\right| \leq g(x)$für alle$t \in X$Und$x \in [a, b]$. Dann

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b f(x, t)\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t) \mathrm{d}x.$$

Beachten Sie, dass Theorem 3 Theorem 2 ersetzt, da stetige Funktionen auf kompakte Teilmengen beschränkt sind. Einstellung$X = [t_0 - \delta, t_0 + \delta]$und Einstellung$g : X \to \mathbb{R}$eine konstante Grenze von sein$\frac{\partial f}{\partial t}$An$X$, Satz 2 folgt.

Der Beweis von Theorem 3 ist wohl einfacher als im Fall der Riemann-Integration, zumindest wenn man mit der Maschinerie der Maßtheorie ausgestattet ist. Nach Erhalt$(2)$, folgt das Ergebnis direkt aus dem Satz über die dominierte Konvergenz.