Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

Question

Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

Derivate
Mathematik
metrische Räume
Realanalyse
gleichmäßige Konvergenz

weiß

Ich habe Mühe, eine echte Funktionssequenz zu finden $\{f_n\}_n$ so dass

$\forall n: f_n$ wird auf einem offenen und begrenzten Intervall definiert $(a,b)$ ;
$\forall n: f_n$ ist überall differenzierbar (bzgl $x$ ) An $(a,b)$ ;
$\exists x_0\in (a,b)$ so dass $\{f_n(x_0)\}_n$ konvergiert;
$\{f'_n\}_n$ gleichmäßig konvergent auf ist $(a,b)$ ;
$\{f_n\}_n$ konvergiert nicht gleichmäßig auf $(a,b)$ .

Nun reichen die Bedingungen 2), 3), 4) aus, um eine punktweise Konvergenz von zu garantieren $\{f_n\}_n$ An $(a,b)$ , sagen wir zu einer Funktion $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ , und die Möglichkeit, Grenze mit Differenzierung in dem Sinne zu vertauschen, dass

\forall X \in (A, B) : F^{'} (X) = lim_{N} F_{N}^{'} (X) .

$\forall x\in (a,b): f'(x)=\lim_n f'_n(x).$ Darüber hinaus können wir unter denselben Annahmen eine gleichmäßige Konvergenz auf jedem kompakten Teilintervall von haben

(a, b)

$(a,b)$ . Mein Ziel ist es, eine Funktionsfolge zu finden, die all diese fünf Bedingungen erfüllt: Ich nehme an, dass das Problem von der Offenheit des Funktionsbereichs herrührt, die die einheitliche Konvergenz der durcheinanderbringt

{f_{n}}_{n}

$\{f_n\}_n$ : Leider sind alle meine Versuche fehlgeschlagen, also bin ich hier, um Sie um Hilfe zu bitten, um eine solche Sequenz zu finden. Irgendwelche Ideen?

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Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

RRL · Answer 1

Solange das Intervall begrenzt ist, gleichmäßige Konvergenz von $(f_n)$ halten muss.

Nach dem Mittelwertsatz für alle $x \in (a,b)$ es existiert $\xi_x$ zwischen $x$ Und $x_0$ so dass

F_{M} (X) - F_{N} (X) = F_{M} (X_{0}) - F_{N} (X_{0}) + [F_{M}^{'} (ξ_{X}) - F_{N}^{'} (ξ_{X})] (X - X_{0}),

$f_m(x) - f_n(x) = f_m(x_0) - f_n(x_0) + [f'_m(\xi_x) - f'_n(\xi_x)](x- x_0),$

Und

sup_{X \in (A, B)} | F_{M} (X) - F_{N} (X) | ⩽ | F_{M} (X_{0}) - F_{N} (X_{0}) | + sup_{X \in (A, B)} | F_{M}^{'} (ξ_{X}) - F_{N}^{'} (ξ_{X}) | sup_{X \in (A, B)} | X - X_{0} | ⩽ | F_{M} (X_{0}) - F_{N} (X_{0}) | + (B - A) sup_{X \in (A, B)} | F_{M}^{'} (X) - F_{N}^{'} (X) |

$\sup_{x \in (a,b)}|f_m(x) - f_n(x) | \leqslant |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + \sup_{x \in (a,b)}|f'_m(\xi_x) - f'_n(\xi_x)|\sup_{x \in (a,b)}|x - x_0| \\ \leqslant|f_m(x_0) - f_n(x_0)|+ (b-a)\sup_{x \in (a,b)}|f'_m(x) - f'_n(x)|$

Durch punktweise Konvergenz von $(f_n(x_0))$ und gleichmäßige Konvergenz von $(f'_n)$ An $(a,b)$ wir können finden $N(\epsilon)$ so dass die RHS kleiner als ist $\epsilon$ für alle $m > n > N(\epsilon)$ . Deshalb, $f_n$ gleichmäßig konvergieren muss $(a,b)$ (obwohl das Intervall offen ist).

Gegenbeispiel zur gleichmäßigen Konvergenz einer differenzierbaren Funktionsfolge

weiß

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RRL

Warum eine Ableitung für eine Funktion definieren, die in einem Intervall definiert ist

Ist (R∗,d)(ℝ∗,d)(ℝ^*,d) vollständig wobei d(x,y)=|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y) =|x−y|+|x−1−y−1|d(x,y)=|xy|+|x^{-1}-y^{-1}|?

Beweisen Sie, dass die folgenden drei Beschränktheitsbedingungen für metrische Räume/Teilfolgen äquivalent sind.

Wie kann ich intuitiv feststellen, ob eine Teilmenge eines metrischen Raums geschlossen oder offen ist? [geschlossen]

Existenz einer Ableitung an einem Punkt

Beweisen Sie, dass AAA genau dann dicht ist, wenn jede nicht leere offene Menge in XXX einen Schnittpunkt mit AAA hat

Warum beweist MVT nicht, dass alle Ableitungen stetig sind?

Zeigen Sie, dass f(x,y)=xy3+exyf(x,y)=xy3+exyf(x,y)= xy^3+e^{xy} in jeder Richtung richtungsdifferenzierbar ist

Ein Wendepunkt, an dem die zweite Ableitung nicht existiert?

Warum konvergiert diese Reihe nicht absolut? Ist es gleichmäßig konvergent?