Warum eine Ableitung für eine Funktion definieren, die in einem Intervall definiert ist

In den Videovorträgen zur Realanalyse von Professor Su verwendet er die folgende Definition für die Ableitung:

Eine Funktion F : [ A , B ] → R ist differenzierbar bei X ∈ [ A , B ] wenn die Grenze lim T → X F ( T ) − F ( X ) T − X existiert. In diesem Fall sagen wir F ' ( X ) = lim T → X F ( T ) − F ( X ) T − X ist die Ableitung von F bei X .

Die Definition von Limit in R ist wie folgt:

Lassen F : E → R Wo E ⊂ R und lass P ein Grenzpunkt von sein E , dann sagen wir lim X → P F ( X ) = Q Wenn ∃ Q ∈ R : ∀ ϵ > 0 ∃ δ > 0 st ∀ X ∈ E , 0 < | X − P | < δ ⟹ | F ( X ) − Q | < ϵ .

Ich habe mich gefragt, warum wir uns auf Funktionen mit einem Intervall als Domäne beschränken. Normalerweise basieren die Definitionen in metrischen Räumen auf Beispielen in R und kann auf beliebige metrische Räume verallgemeinert werden, z. B. kann die Definition des Grenzwerts einer Funktion oder der Stetigkeit einer Funktion verallgemeinert werden, indem der Betrag durch eine Abstandsfunktion ersetzt wird. Natürlich kann die als Grenze eines Quotienten definierte Ableitung nicht auf beliebige metrische Räume verallgemeinert werden, da die Teilung möglicherweise nicht definiert ist, aber warum sollten wir uns auf Funktionen beschränken, die auf einem Intervall definiert sind?

Angesichts der Definition des Grenzwerts können wir diesen Grenzwert für jede Funktion, die auf einer Teilmenge definiert ist, verstehen E ⊂ R . Natürlich in dem Fall, wo die Domain ist R wir müssen die Bedingung that nicht angeben X muss ein Grenzpunkt für die Ableitung bei sein X seit jedem Punkt zu existieren R ist ein Grenzpunkt. Wenn wir dies jedoch auf Funktionen verallgemeinern F : E → R Wo E ⊂ R , dann verlangen wir das X ist ein Grenzpunkt, damit die Grenze sinnvoll ist.

Diese Definition würde auch die Spezialfälle von Intervallen abdecken. Wir können zum Beispiel vermieten E = [ A , B ] , dann ist jeder Punkt in diesem Intervall ein Grenzpunkt solange A ≠ B und wir können die Grenze an jeder Stelle betrachten, ohne dass wir einseitige Grenzen separat einführen müssen. Das liegt daran, dass wir überlegen können [ A , B ] als eigenständiger metrischer Raum und für die δ Kugel mit beliebigem Radius A oder B In [ A , B ] wird einfach an einer Seite abgeschnitten (weil wir nur Punkte im metrischen Raum betrachten).

Warum beschränken sich die meisten Lehrbücher/Vorlesungen zur Realanalyse auf offene oder geschlossene Intervalle für Derivate?

Ableitungen in diskontinuierlichen Mengen sind nicht so nützlich. Zum Beispiel würden sie es nicht erlauben, das Wachstum der Funktionen zu diskutieren, noch den Satz von Rolle zu verwenden.

Antworten (1)

Eigentlich gibt es hier mehrere Möglichkeiten. Nehmen Sie zum Beispiel die Definition der Ableitung in Spivaks Calculus :

Die Funktion F ist differenzierbar bei A Wenn

lim H → 0 F ( A + H ) − F ( A ) H  existiert.
In diesem Fall wird die Grenze mit bezeichnet F ' ( A ) und heißt die Ableitung von F bei A .

Wie Sie sehen können, wird kein Verweis auf die Domäne hergestellt D F von F ; es ist einfach implizit, dass es so ist A ist ein Häufungspunkt von D F ; Andernfalls muss diese Grenze nicht eindeutig sein.

Ein solcher Ansatz setzt jedoch voraus, dass die Studierenden mit dem Begriff „Sammelpunkt“ vertraut sind. Wenn das ein Problem ist, dann ist es einfacher und fast genauso allgemein davon auszugehen D F ist ein Intervall (mit mehr als einem Punkt).

Außerdem sind viele Standardsätze der Analysis (wie der Satz von Rolle, der Extremwertsatz oder der Mittelwertsatz) Sätze über Funktionen F wofür D F ist ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall.

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich stimme zu, dass Lehrbücher für Analysis die meisten Dinge vereinfachen, aber ich denke, in der echten Analyse sollte man strenger mit den Definitionen umgehen. Guter Punkt über die Theoreme. Eine andere Sache, die ich im Sinn hatte, war, dass dies erforderlich war X ist ein Grenzpunkt sagt im Grunde aus, dass es einen offenen Ball im Bereich gibt, der unendlich viele Punkte enthält, und ich denke, man könnte die Funktion dann immer auf diesen offenen Ball beschränken, wenn einen nur der Punkt interessiert X . Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, ob die Definitionen dann äquivalent sind.
Was ich geschrieben habe, war eine Antwort, kein Kommentar. Und nein, das behaupten X ein Grenzpunkt ist, sagt nicht aus, „dass es im Bereich eine offene Kugel gibt, die unendlich viele Punkte enthält“. Wenn
D F = { 0 } ∪ { 1 N | N ∈ N } ,
Dann 0 ist ein Grenzpunkt, aber D F enthält keine offene Kugel.
Entschuldigung, der Grenzpunkt sagt natürlich nur, dass jeder offene Ball um ihn herum einen anderen Punkt der Domäne enthält, und nicht, dass der offene Ball vollständig drin ist R .
Warum eine Ableitung für eine Funktion definieren, die in einem Intervall definiert ist
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