Zeigen Sie, dass f(x,y)=xy3+exyf(x,y)=xy3+exyf(x,y)= xy^3+e^{xy} in jeder Richtung richtungsdifferenzierbar ist

Die Funktion$f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ist definiert durch

$$f(x,y)= xy^3+e^{xy}$$ Zeige, dass$f$ist in jeder Richtung richtungsdifferenzierbar$v\in \mathbb R^2$im Punkt$(1,1)$und geben Sie die Formel für an$D_vf(1,1)$

Ich dachte, ich könnte verwenden, dass es richtungsdifferenzierbar ist, wenn

$$lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\xi+tv)-f(\xi)}{t}$$ existiert.

Das habe ich versucht zu zeigen, aber ich bin stecken geblieben.

$$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\xi+tv)-f(\xi)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{(1+tv_1)(1+tv_2)^3+e^{(1+tv_1)(1+tv_2)}-1-e}{t} = 0$$

Das würde aber auch heißen$D_vf(1,1)=0$, was sich irgendwie falsch anfühlte. Verwende ich die Definition falsch?

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$$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{(1+tv_1)(1+tv_2)^3+e^{(1+tv_1)(1+tv_2)}-1-e}{t} = v_1(1+e)+v_2(3+e)$$