Wann ist f(x)=x2−2xf(x)=x2−2xf(x)=x^2-2x injektiv?

Vermuten$f(x)=x^2-2x$. Finden Sie das größte Intervall$I_+$mit$2\in I_+$, so dass$f$ist injektiv. Das habe ich jetzt intuitiv gefunden$I_+ = [1, \infty)$. Aber wie kann man das beweisen?

Das war meine Idee:

Lassen$A$sei ein Intervall beginnend mit$a$Zu$b$, So$a<b$. Wann ist$f|_A$injektiv?

Es gibt einige Möglichkeiten. Seit$a,b$reelle Zahlen sind, gilt das$a < 1 \vee a \ge 1$Und$b < 1 \vee b \ge 1$. Kombiniert man dies, müssen wir die folgenden Möglichkeiten prüfen$A$:

ICH)$a < 1, b < 1$

II)$a < 1, b \ge 1$

III)$a \ge 1, b \ge 1$

Jetzt müssen wir I nicht überprüfen, weil$2 \not \in A$. II ist nicht injektiv. Auch hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten:$1-a < b-1 \vee 1-a \ge b-1$. Wir schauen uns nur an$1-a < b-1$, der andere Fall ist analog. Wählen$x_1 = 1-\frac{1-a}{2}, x_2 = 1+\frac{1-a}{2}$. Dann$f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1 \neq x_2$, So$f$ist nicht injektiv. Fall II ist also nicht injektiv. III ist injektiv; wählen$x_3, x_4 \ge 1$. Dann$f(x_3)=f(x_4) \Rightarrow x_3=x_4$.

Also ist nur Fall III injektiv und$2 \in A$Wenn$a < 2$. Wie können wir dieses Intervall so groß wie möglich machen? Nehmen$a = 1$und jede reelle Zahl für$b$. So$A = [1,\infty) = I_+$. So$I_+$muss das größte Intervall für sein$f$injektiv sein und$2 \in I_+$.

Übersehe ich einige Punkte? Kann man das einfacher machen?