Kontinuierliche surjektive Funktion vom geschlossenen Intervall zu sich selbst, die nur die Endpunkte festlegt

Das einfache Beispiel haben Sie bereits gefunden$f(x)=x^2$auf dem Intervall$[0,1]$. Dieses Beispiel lässt sich auf jedes andere Intervall übertragen$[a,b]$, Wo$a<b$. Einfach nehmen

Lassen$a<c<b.$Definieren$f$die stückweise lineare Funktion sein, die die Punkte verbindet$(a,a),(c,b),$Und$(b,b).$

Im Allgemeinen jeder Homöomorphismus$g:[a,b] \to [0,1]$veranlasst das Beispiel$g^{-1}(g(x)^2)$An$[a,b]$, und ganz allgemein,$g^{-1}(f(g(x)))$für irgendein Beispiel$f(x)$An$[0,1]$.

Die Antwort von Servaes verwendet die Bijektion$g(x)=\frac{x-a}{b-a}$. Das funktioniert, weil es wirklich eine Komposition ist$[a,b] \to [0,b-a] \to [0,1]$.

Alternativ könnte man stattdessen tun$[a,b] \to [1,b-a+1] \to [0,1]$wobei die erste Funktion subtrahiert$a$und ergänzt$1$und die zweite Funktion nimmt den Logarithmus zur Basis$b-a+1$.

So,$h(x)=(b-a+1)^{(\log_{b-a+1}(x-a+1))^2}+a-1$(oder allgemeiner$h(x)=(b-a+1)^{f(\log_{b-a+1}(x-a+1))}+a-1$) Wo$f(x)$arbeitet an$[0,1]$) funktioniert auch$[a,b]$.