Zeigen Sie, dass wenn g((xn))→lg((xn))→lg((x_n)) \rightarrow l und g((yn))→mg((yn))→mg((y_n)) \rightarrow m , dann l=ml=ml=m

Nehme an, dass G : ( A , B ] → R ist gleichmäßig stetig. Angenommen beides ( X N ) , ( j N ) sind Sequenz in ( A , B ] die zusammenlaufen A . Zeigen Sie, dass wenn G ( X N ) ) → l Und G ( ( j N ) ) → M , Dann l = M .

Per Definition seit ( X N ) → A , ∀ ε > 0 , ∃ N 0 ∈ N ∀ N ≥ N 0

| X N − A | < ε

Für die Sequenz kann eine parallele Aussage getroffen werden ( j N ) . Dies impliziert das

| X N − j N | = | X N − A + A − j N | ≤ | X N − A | + | A − j N | ≡ | X N − A | + | j N − A | < ε 2 + ε 2 = ε

Seit G gleichmäßig stetig ist, informiert uns dies darüber ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 st ∀ X N ∈ ( X N ) Und ∀ j N ∈ ( j N ) ,

| G ( X N ) − G ( j N ) | < ε (Wir schließen die Delta-Bedingung aus, da wir gezeigt haben, dass sie immer erfüllt ist)

Ähnliche Bedingungen können unter ausschließlicher Verwendung jeder Sequenz hergestellt werden

| G ( X N ) − G ( X M ) | < ε

| G ( j N ) − G ( j M ) | < ε

Mühe, die letzten paar Schritte herauszufinden.

Ihr Beweis muss bearbeitet werden. Zu viele " ∀ ε > 0 , ∃ N 0 ∈ N ∀ N ≥ N 0 " Anweisungen. Vorschlag: Beginnen Sie mit "let ϵ > 0. „Nun, es scheint, Sie haben die Grundidee zum Beweisen X N − j N → 0. Aber auch dies konvergiert zu ___ .

Antworten (1)

Hier ist ein Beweis im Rahmen von IST, vorausgesetzt G , A , l Und M sind serienmäßig. Lassen N unendlich groß sein. Dann X N Und j N sind beide unendlich nah A , So X N ist unendlich nah j N . Durch gleichmäßige Kontinuität, G ( X N ) ist unendlich nah G ( j N ) . Weil G ( X N ) → l , G ( X N ) ist unendlich nah l und ähnlich G ( j N ) ist unendlich nah M . Daher l Und M sind unendlich nahe, also (standardmäßig) gleich.

Das Übersetzen dieser Idee in einen nicht standardmäßigen Beweis bleibt dem Leser als Übung überlassen.
Zeigen Sie, dass wenn g((xn))→lg((xn))→lg((x_n)) \rightarrow l und g((yn))→mg((yn))→mg((y_n)) \rightarrow m , dann l=ml=ml=m
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