Die kontinuierliche Funktion, die auf einem geschlossenen begrenzten Intervall definiert ist, ist begrenzt? ist das kontinuierliche notwendig?

Ich habe den Beweis für diesen Satz gesehen, aber ich frage mich, ob diese kontinuierliche Bedingung notwendig ist. Mein Bauchgefühl fühlt, solange eine Funktion auf einer geschlossenen Menge definiert ist, was bedeutet, dass jedes Element in der Domäne definiert ist, nicht wie die offene Menge herumspielt, die bis ins Unendliche gehen kann. z.B

F : ( 0 , 1 ) → R X → 1 X

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Beachten Sie, dass der Satz im Titel wie gesagt falsch ist: Man muss die abgeschlossene Menge selbst beschränkt haben, damit der Satz gilt (andernfalls F ( X ) = X ist ein Gegenbeispiel!).

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Es gibt mehr Dinge im Himmel und auf Erden, als wir uns in unserer Philosophie erträumen....

Sobald wir uns angewöhnen, über Funktionen nachzudenken, die nicht stetig sind, können wir alle möglichen weniger gut erzogenen Beispiele finden. Definieren Sie zum Beispiel F : [ 0 , 1 ] → R von

F ( X ) = { N , Wenn  X = 1 N  für eine positive ganze Zahl  N , 1 / ( X − 1 ) , Wenn  X ∈ [ 0 , 1 ] ∖ { 1 , 1 2 , 1 3 , … } .
Dann F ist auf einem geschlossenen Intervall definiert, ist aber weder nach oben noch nach unten begrenzt.

  1. G : [ 0 , 1 ] → R , G ( X ) = { 1 / X Wenn  X ≠ 0 0 Wenn  X = 0 ist auf der kompakten Menge unbeschränkt [ 0 , 1 ] .

  2. u : [ 0 , ∞ ) → R , u ( X ) = X ist unbeschränkt und stetig auf der abgeschlossenen Menge [ 0 , ∞ ) .

  3. v : R → R , v ( X ) = { 0 Wenn  X ∈ Q 1 Wenn  X ∉ Q ist auf jeder Teilmenge von beschränkt und diskontinuierlich R (geschlossen oder nicht), die ein Intervall enthält.

Die kontinuierliche Funktion, die auf einem geschlossenen begrenzten Intervall definiert ist, ist begrenzt? ist das kontinuierliche notwendig?
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