a∗a∗a^* und a∗∗a∗∗a^{**} im Wikipedia-Beweis für IVT

Question

a∗a∗a^* und a∗∗a∗∗a^{**} im Wikipedia-Beweis für IVT

Analyse
Kontinuität
Mathematik
Realanalyse
supremum-und-infimum

CBBAM

Ich folge dem Beweis des IVT auf Wikipedia und habe einen Punkt der Verwirrung. Im Beweis heißt es

Bei den Eigenschaften des Supremums gibt es einige $a^* \in (c-\delta, c]$ das darin enthalten ist $S$ , und so

$F (C) < F (A^{*}) + ϵ \leq u + ϵ$ $f(c) < f(a^*) + \epsilon \leq u + \epsilon$ Pflücken $a^{**} \in (c, c+\delta)$ , Wir wissen das $a^{**} \not \in S$ Weil $c$ ist das höchste von $S$ . Das bedeutet, dass $F (C) > F (A^{* *}) - ϵ > u - ϵ$ $f(c) > f(a^{**}) - \epsilon > u -\epsilon$

Was mich stört, ist, wie dieser Beweis die halben Intervalle aufteilt. Wie sind wir uns sicher, dass zum Beispiel $a^*$ existiert? Wenn dies von der Kontinuität herrührt, woher wissen wir dann nicht, dass eine solche $a^*$ nur in der anderen Hälfte des Intervalls existiert? Ebenso für $a^{**}$ .

Flohblut

c = sup {

$c =\sup\{$ alle

x \in [a, b]

$x\in [a,b]$ so dass

f (x) \leq u}

$f(x) \le u\}$ . Das bedeutet keine Zahl weniger als

c

$c$ kann eine Obergrenze von sein

{

$\{$ alle

x \in [a, b]

$x\in [a,b]$ so dass

f (x) \leq u}

$f(x) \le u\}$ . So

c - δ

$c-\delta$ kann keine Obergrenze von sein

{

$\{$ alle

x \in [a, b]

$x\in [a,b]$ so dass

f (x) \leq u}

$f(x) \le u\}$ . Es gibt also eine

a^{*} > c - δ

$a^* > c-\delta$ so dass

a^{*} \in {

$a^* \in \{$ alle

x \in [a, b]

$x\in [a,b]$ so dass

f (x) \leq u}

$f(x) \le u\}$ . Und somit

f (a^{*}) \leq u

$f(a^*)\le u$ .

CBBAM

@fleablood Aber wie kannst du das versichern

f (c) < f (a^{*}) + ϵ

$f(c) < f(a^*) + \epsilon$ ?

Flohblut

Und das aus Kontinuität. Wenn

c - δ < a^{*} \leq c

$c-\delta < a^*\le c$ Dann

| c - a^{*} | < δ

$|c-a^*| < \delta$ und so

| f (c) - f (a^{*}) | < ϵ

$|f(c) - f(a^*)| < \epsilon$ So

- ϵ < f (a^{*}) - f (c) < ϵ

$-\epsilon < f(a^*) - f(c) < \epsilon$ So

f (c) < f (a^{*}) + ϵ < 2 ϵ

$f(c) < f(a^*) + \epsilon < 2\epsilon$ .

CBBAM

@fleablood Ah, ich verstehe, also folgt es im Wesentlichen aus der Definition der Kontinuität, von der wir nur die rechte Seite der Ungleichung betrachten? Ich denke, es ist mir nicht in den Sinn gekommen, dass wir nur die Hälfte der Ungleichheit berücksichtigen können. Ist das im Allgemeinen gerechtfertigt, ohne prüfen zu müssen, ob die andere Seite der Ungleichung erfüllt ist?

Flohblut

So wie du es hast

c = sup {x | f (x) \leq u}

$c = \sup\{x|f(x)\le u\}$ dann für alle

x > c

$x > c$ wir haben

x \notin {x | f (x) \leq u}

$x \not \in \{x|f(x)\le u\}$ Und

f (x) > u

$f(x) > u$ es macht also keinen sinn darüber nachzudenken

(c, c + δ)

$(c, c+\delta)$ . Alternativ hätten Sie and verwenden können

inf {x | f (x) \geq u}

$\inf \{x|f(x)\ge u\}$ und mach das

[c, c + δ)

$[c, c+\delta)$ Intervall.

CBBAM

@fleablood Was immer noch nicht ganz klickt, ist, wie das Aufteilen des Intervalls immer noch zur Ungleichheit führt

f (c) < f (a^{*}) + ϵ

$f(c) < f(a^*) + \epsilon$ . Ich verstehe, warum wir es tun, aber nicht wie.

Flohblut

| x - c | < δ ⟺ c - δ < x < c + δ ⟺ x \in (c - δ, c + δ)

$|x-c|<\delta \iff c-\delta<x<c+\delta\iff x\in (c-\delta,c+\delta)$ . Durch Kontinuität für alle

ϵ > 0

$\epsilon>0$ Es gibt

δ

$\delta$ so dass

x \in (c - δ] \subset (c - δ, c + δ) ⟹ | f (x) - f (c) | < ϵ ⟹ f (c) < f (x) + ϵ

$x\in(c-\delta]\subset(c-\delta,c+\delta)\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon\implies f(c)< f(x)+\epsilon$ . Und es ist uns egal

x \in (c, c + δ)

$x\in(c,c+\delta)$ Weil

x \in (c, c + δ) ⟹ f (x) > u

$x\in(c,c+\delta)\implies f(x)>u$ .... und bei Supremum existiert ein

a^{*} \in (c - δ, c]

$a^*\in(c-\delta, c]$ so dass

f (a^{*}) \leq u

$f(a^*) \le u$ .

Antworten (2)

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$c =\sup\{$ alle $x\in [a,b]$ so dass $f(x) \le u\}$ . Das bedeutet keine Zahl weniger als $c$ kann eine Obergrenze von sein $\{$ alle $x\in [a,b]$ so dass $f(x) \le u\}$ . So $c-\delta$ kann keine Obergrenze von sein $\{$ alle $x\in [a,b]$ so dass $f(x) \le u\}$ . Es gibt also eine $a^* > c-\delta$ so dass $a^* \in \{$ alle $x\in [a,b]$ so dass $f(x) \le u\}$ . Und somit $f(a^*)\le u$ .
@fleablood Aber wie kannst du das versichern $f(c) < f(a^*) + \epsilon$ ?
Und das aus Kontinuität. Wenn $c-\delta < a^*\le c$ Dann $|c-a^*| < \delta$ und so $|f(c) - f(a^*)| < \epsilon$ So $-\epsilon < f(a^*) - f(c) < \epsilon$ So $f(c) < f(a^*) + \epsilon < 2\epsilon$ .
@fleablood Ah, ich verstehe, also folgt es im Wesentlichen aus der Definition der Kontinuität, von der wir nur die rechte Seite der Ungleichung betrachten? Ich denke, es ist mir nicht in den Sinn gekommen, dass wir nur die Hälfte der Ungleichheit berücksichtigen können. Ist das im Allgemeinen gerechtfertigt, ohne prüfen zu müssen, ob die andere Seite der Ungleichung erfüllt ist?
So wie du es hast $c = \sup\{x|f(x)\le u\}$ dann für alle $x > c$ wir haben $x \not \in \{x|f(x)\le u\}$ Und $f(x) > u$ es macht also keinen sinn darüber nachzudenken $(c, c+\delta)$ . Alternativ hätten Sie and verwenden können $\inf \{x|f(x)\ge u\}$ und mach das $[c, c+\delta)$ Intervall.
@fleablood Was immer noch nicht ganz klickt, ist, wie das Aufteilen des Intervalls immer noch zur Ungleichheit führt $f(c) < f(a^*) + \epsilon$ . Ich verstehe, warum wir es tun, aber nicht wie.
$|x-c|<\delta \iff c-\delta<x<c+\delta\iff x\in (c-\delta,c+\delta)$ . Durch Kontinuität für alle $\epsilon>0$ Es gibt $\delta$ so dass $x\in(c-\delta]\subset(c-\delta,c+\delta)\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon\implies f(c)< f(x)+\epsilon$ . Und es ist uns egal $x\in(c,c+\delta)$ Weil $x\in(c,c+\delta)\implies f(x)>u$ .... und bei Supremum existiert ein $a^*\in(c-\delta, c]$ so dass $f(a^*) \le u$ .

Flohblut · Answer 1

Kontinuität bedeutet das für alle $\epsilon > 0$ es existiert ein $\delta>0$ damit für alle $|x-c|< \delta$ wir haben $|f(x)-f(c)|< \epsilon$ .

Also wenn $c-\delta < x \le c$ Dann $|x-c| < \delta$ Und $|f(x)-f(c)| < \epsilon$ So $f(c) < f(x) + \epsilon$ .

Und $c =\sup \{y| f(y) \le u\}$ bedeutet, dass $c$ ist eine Obergrenze von $\sup \{y| f(y) \le u\}$ und dass jede Zahl kleiner als $c$ wird keine Obergrenze von sein $\sup \{y| f(y) \le u\}$ .

$c-\delta < c$ So $c-\delta$ ist keine Obergrenze von $\sup \{y| f(y) \le u\}$ . Und $c$ ist eine Obergrenze von $\sup \{y| f(y) \le u\}$ . Das heißt, es muss ein vorhanden sein $a^*$ so dass $c-\delta < a^* \le c$ Wo $a^* \in \sup \{y| f(y) \le u\}$ .

So $a^* \in (c-\delta, c]$ . Und wir haben $a^* \in \sup \{y| f(y) \le u\}$ So $f(a^*) \le u$ .

Das bedeutet also $f(a^*) + \epsilon \le u + \epsilon$ .

Und das haben wir

$c-\delta < a^* \le c$
Für alle $x\in(c-\delta, c]$ Das $f(c) < f(x) +\epsilon$ So $f(c) < f(a^*) +\epsilon$ .
$f(a^*) +\epsilon \le u+ \epsilon$

Der $f(c) < f(a^*) + \epsilon \le u + \epsilon$ .

Also für jeden $\epsilon > 0$ wir haben

$f(x) \le u + \epsilon$ .

Dies hat mir geholfen, meine Verwirrung zu lokalisieren, was der erste Teil Ihrer Antwort ist. Da Kontinuität für alle impliziert $\epsilon > 0$ es gibt welche $\delta > 0$ so dass $|x-c| < \delta$ wir haben $|f(x) - f(c)| < \epsilon$ , was bedeutet das $x \in (c-\delta, c] \Rightarrow f(c) < f(x) + \epsilon$ ? Wie sind wir sicher, dass das links von zeigt $c$ wird auf Punkte abgebildet $x$ so dass $f(c) < f(x) + \epsilon$ ?
$|f(x)-f(c)|< \epsilon \implies -\epsilon<f(c)-f(x)<\epsilon\implies f(x)-\epsilon < f(c)<f(x)+\epsilon\implies f(c)<f(x)+\epsilon$ .
Also durch Kontinuität $c-\delta<x\le c\implies c-\delta<x<c+\delta\implies f(x)-\epsilon < f(c)<f(x)+\epsilon\implies f(c)<f(x)+\epsilon$ . Und bei Supremum, es gibt eine $a^*: c-\delta< a^*\le c$ so dass $a^*\in\{x|f(x)\le u\}\implies f(a^*)\le u$ . Also haben wir $c-\delta <a^*\le c$ So $f(c)< f(a^*)+\epsilon\le u + \epsilon$ für alle $\epsilon$ . Das kann nur passieren, wenn $f(c)\le u$ . [Jetzt brauchen wir ein Argument dafür $f(c)\not< u$ aber das ist durch Kontinuität klar....]

pancini · Answer 2

Wir haben $S=\{x\in[a,b]:f(x)\le u\}$ Und $c=\sup(S)$ . Das bedeutet zweierlei:

Seit $c$ ist eine obere Schranke für $S$ , jede Zahl größer als $c$ ist nicht dabei $S$ . Das heißt, für jeden $x$ in der Domäne mit $c<x$ , wir haben $f(x)>u$ .
Seit $c$ ist die kleinste obere Schranke für $S$ , jede Zahl kleiner als $c$ ist keine Obergrenze für $S$ . Mit anderen Worten, wenn $x<c$ , dann seit $x$ keine Obergrenze ist, muss ein Element vorhanden sein $a^*\in S$ was größer ist als $x$ . Aber $c$ ist immer noch eine Obergrenze für $S$ , So $x<a^*<c$ .

Zu 2: Die doppelten Verneinungen verwirren mich immer. Ich finde es nützlich zu denken, "wenn es ein solches Element nicht gäbe $a^*$ zwischen $x$ Und $c$ , Dann $x$ wäre eine bessere Bindung."
@Also dann $f(c) < f(a^*) + \epsilon$ dann aus Stetigkeit folgen? Seit $a^* \in (c-\delta, c] \subset (c-\delta, c+\delta)$ und daher $f(a^*) - \epsilon < f(c) < f(a^*) + \epsilon$ und wir betrachten nur die rechte Seite der Ungleichung?

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