Wie kann man beweisen, dass die Umkehrung einer stetig streng monoton steigenden Funktion stetig ist? (Terence-Tao-Analyse 1, Satz 9.8.3)

Ich habe einige Probleme zu beweisen, dass die Inverse stetig ist. Der Hinweis in dem Buch ist, die Standard-Epsilon-Delta-Definition von Kontinuität zu verwenden. Ich glaube, der einfachste Weg ist ein Beweis durch Widerspruch, aber mit all den Quantifizierern in der Aussage negiere ich möglicherweise fälschlicherweise die Aussage, die ich zu beweisen versuche. Außerdem steht mir der Zwischenwertsatz zur Verfügung, auf dem sich die meisten meiner Beweise stützen. Nachfolgend der Vorschlag:

Lassen$a < b$reelle Zahlen sein, und lassen$f:[a, b] \to \mathbb{R}$eine Funktion sein, die sowohl stetig als auch streng monoton steigend ist. Dann$f$ist eine Bijektion von$[a, b]$Zu$[f(a), f(b)]$, und die Umkehrung$f^{-1}: [f(a), f(b)] \to [a, b]$ist ebenfalls stetig und streng monoton steigend.

Nachfolgend mein Beweisversuch:

Lassen$x_1, x_2 \in [a, b]$reelle Zahlen sein, so dass$f(x_1) = f(x_2)$. Aus der Trichotomie der reellen Zahlen haben wir, dass genau eine der folgenden Aussagen zutrifft:$x_1 = x_2$,$x_1 < x_2$, oder$x_1 > x_2$. Vermuten$x_1 \not = x_2$. Dann haben wir das per Definition streng steigender monotoner Funktionen$f(x_1) \not = f(x_2)$. Daher,$x_1 = x_2$, Und$f$ist injektiv. Nun lass$y \in [f(a), f(b)]$eine reelle Zahl sein. Dann existiert nach dem Zwischenwertsatz eine reelle Zahl$c \in [a, b]$so dass$f(c) = y$. Daher,$f$ist eine Surjektion aus$[a, b]$Zu$[f(a), f(b)]$. Seit$f$sowohl injektiv als auch surjektiv ist, können wir daraus schließen$f$ist eine Bijektion von$[a, b]$Zu$[f(a), f(b)]$. Zu zeigen, dass$f^{-1}$ist streng monoton steigend, let$y_1, y_2 \in [f(a), f(b)]$reelle Zahlen sein, so dass$y_1 < y_2$. Dann existieren nach dem Zwischenwertsatz$x_1, x_2 \in [a, b]$so dass$f(x_1) = y_1$Und$f(x_2) = y_2$. Seit$f$streng monoton steigend ist, haben wir$x_1 < x_2$. Unter Verwendung der Definition einer Inversen haben wir

$$\begin{align*}f^{-1}(y_1) &= f^{-1}(f(x_1)) \\&= x_1 \\&< x_2 \\&= f^{-1}(f(x_2)) \\&=f^{-1}(y_2) \text{,}\end{align*}$$ Zeigt das$f^{-1}$ist streng monoton steigend. Abschließend werden wir das zeigen$f^{-1}$ist kontinuierlich. Lassen$y_0 \in [f(a), f(b)]$eine reelle Zahl sein, und lassen$\epsilon > 0$eine reelle Zahl sein. Wie zuvor existiert eine reelle Zahl$x_0 \in [a, b]$so dass$f(x_0) = y_0$. Ebenso für jede reelle Zahl$y \in [f(a), f(b)]$, sagt uns der Zwischenwertsatz, dass es eine reelle Zahl gibt$x \in [a, b]$so dass$f(x) = y$. Wir wollen zeigen, dass es a gibt$\delta > 0$so dass$| f^{-1}(y) -f^{-1}( y_0) | < \epsilon$für alle$y \in [f(a), f(b)]$so dass$|y - y_0| < \delta$. Dies ist gleichbedeutend mit dem Beweis, dass es a gibt$\delta > 0$so dass$| x - x_0 | < \epsilon$für alle$f(x) \in [f(a), f(b)]$so dass$|f(x) - f(x_0)| < \delta$. In der Reihenfolge geschrieben, an die wir eher gewöhnt sind, ist dies gleichbedeutend damit, zu zeigen, dass es a gibt$\delta > 0$so dass$|f(x) - f(x_0)| < \delta$für alle$x \in [a, b]$so dass$|x - x_0| < \epsilon$. Nehmen wir aus Gründen des Widerspruchs an, dass$f^{-1}$ist nicht kontinuierlich. Das heißt, angenommen für alle$\delta > 0$, es existiert ein$\epsilon > 0$so dass$|f(x) - f(x_0)| \ge \delta$für alle$x \in [a, b]$so dass$|x - x_0| < \epsilon$.

Ich bin mir nicht wirklich sicher, wohin ich von hier aus gehen soll, und ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aussage richtig verneint habe, dass die Umkehrung von$f$ist kontinuierlich. Jede Hilfe wird sehr geschätzt.

PS Dies ist keine Hausaufgabe, sondern nur das Selbststudium. Ich habe noch nie einen Kurs in Analyse belegt, also fühlen Sie sich frei, auf etwas hinzuweisen, was ich falsch mache (oder das weniger als streng ist).