Wie kann f(x)=x2f(x)=x2f(x) = x^2 stetig sein?

Sie bringen da viele Konzepte durcheinander, und das ist ein Teil dessen, was Sie verwirrt. Um Ihnen eine Richtung zu geben:

Die Größe der Sätze

Für endliche Mengen ist es einfach zu sagen, dass ihre Größe die Anzahl der Elemente in ihnen ist. So$|\{1, 5, 7\}| = 3$usw. Aber bei unendlichen Mengen wird das problematisch. Die verallgemeinerte Version davon ist die Kardinalität einer Menge, und wir sagen, dass Mengen dieselbe Kardinalität haben, wenn Sie eine perfekte Abbildung von Elementen zwischen ihnen erstellen können. So$\{1, 5, 7\}$Und$\{a, b, c\}$dieselbe Kardinalität haben, weil wir uns paaren können$(1, a), (5, b), (7, c)$(oder andere Vereinbarungen). Bei unendlichen Mengen stellt sich heraus, dass einige Dinge, die größer oder kleiner aussehen, tatsächlich dieselbe Kardinalität haben (zum Beispiel hat die Menge der rationalen Zahlen - Brüche von ganzen Zahlen - dieselbe Kardinalität wie die Menge der natürlichen Zahlen). andere sind nachweislich unterschiedlich groß (z. B. ist die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 größer als die Menge der ganzen Zahlen).

Im Sinne der Kardinalität also das Intervall$[1, 2]$hat die gleiche Punktzahl wie$[1, 4]$- die Kartierung$y = x^2$ist eine perfekte Bijektion von$[1, 2]$Zu$[1, 4]$, was bedeutet, dass jeder Punkt in der Domäne genau einen Punkt in dem Bereich hat, mit dem er gepaart ist.

Es gibt ein anderes Konzept - das des Maßes - mit dem man sagen kann, dass das Intervall$[1, 4]$ist dreimal so groß wie$[1, 2]$, aber für diese Art von Diskussion ist es weniger relevant.

Kontinuität

Normalerweise wird Kontinuität in der Schule als die Idee eingeführt, dass "Sie den Graphen der Funktion zeichnen können, ohne den Stift vom Papier zu nehmen" - dh die Funktion hat eine Kurve, die vollständig zusammenhängend ist. Dies wird mit der Diskussion von Grenzwerten formalisiert - eine Funktion hat an einem Punkt einen Grenzwert, wenn Sie dem Grenzwert beliebig nahe kommen können, indem Sie sich dem Punkt beliebig nähern, und eine Funktion ist an dem Punkt stetig, wenn dieser Grenzwert gleich dem der Funktion ist Wert an der Stelle.

Später wird dies weiter verallgemeinert, indem über Dinge gesprochen wird, die als Topologien und offene Mengen bezeichnet werden, aber das geht wieder einen Schritt zu weit (und komischerweise beinhaltet es auch eine gewisse Interaktion mit der Maßtheorie).

Unendlichkeit ist seltsam

Sie werden feststellen, besonders wenn Sie selbst lernen, dass sich einige Dinge unintuitiv verhalten, und dies läuft hauptsächlich darauf hinaus, dass einige Dinge, die "offensichtlich" auf eine bestimmte Weise funktionieren, nur unter ganz besonderen Bedingungen so funktionieren. aber diese Bedingungen sind die, mit denen Sie am besten vertraut sind. Für jeden endlichen Wert kann etwas wahr sein (z. B. "Hinzufügen eines Elements zu einer Menge mit$n$Elemente gibt Ihnen eine Reihe von$n+1$Elemente, was größer ist"), aber wenn Sie blind versuchen, es auf "unendlich" anzuwenden, bricht es (die Menge$\{0, 1, 2, \ldots\}$hat genauso viele Elemente wie$\{1, 2, \ldots\}$).

Leider wird es nur noch schlimmer – die meisten Funktionen sind nicht stetig, die meisten Zahlen sind nicht rational, Sie können die Größe von etwas ändern, ohne es zu dehnen oder zu schrumpfen, und Sie können beweisen, dass es wahre Tatsachen gibt, die nicht sein können bewährt. Die meisten dieser Dinge beinhalten das Herumspielen mit Unendlichkeiten, so dass der intuitive Teil auf eine kleine Teilmenge des größeren, nicht intuitiven Ganzen verbannt wird, und viel Mathematik dreht sich darum, (a) neue Intuitionen zu finden, um damit umzugehen, und (b) unglaublich zu sein Achten Sie darauf, zu definieren, was Sie tun können und was nicht, damit Sie nicht am Ende etwas anderes kaputt machen.

Hier ist Ihr Problem, wie Sie es bereits selbst identifiziert haben: "Ich weiß, dass es zwischen zwei gegebenen Zahlen unendliche Werte gibt, und dass der Vergleich von Unendlichkeiten oft ein Problem darstellt."

Die Sätze$(1,2)$Und$(1,4)$ dieselbe „Größe“ haben („Kardinalität“ ist in diesem Zusammenhang der passende Begriff), obwohl das eine eigentlich im anderen enthalten ist. Komischerweise müssen Sie nur eine Bijektion zwischen den beiden Mengen und finden, um festzustellen, dass sie die gleiche Kardinalität haben$x \mapsto x^2$macht den Job (wie auch$x \mapsto 3x-2$).