Diskontinuitäten Definitionsverwirrung

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Diskontinuitäten Definitionsverwirrung

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Rudin gibt die folgende Definition für eine rechte Grenze und eine linke Grenze und Diskontinuitäten (siehe beigefügtes Bild)

Um also zu zeigen, dass eine Funktion Diskontinuitäten vom Typ 2 hat, muss ich zeigen, dass die Grenzen für die rechte und die linke Hand nicht existieren.

Sollte die $q$ im Bild ein sein $x$ ?

Wenn nicht, bin ich verwirrt, weil in der Definition bereits die rechte oder linke Grenze gleich ist $q$ aber wenn ich nicht weiß, was die linke oder rechte Grenze gleich ist, wie kann ich das dann zeigen $f(t_{n}) \not \rightarrow q$ als $n \rightarrow \infty$ Aber $t_{n} \rightarrow x$

Als Beispiel hat es $f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & x\text{ is rational} \\ 0 & x \text{ is irrational} \end{array}\right.$

Es heißt, dass dies an jedem Punkt Diskontinuitäten vom Typ 2 hat, sodass die linken und rechten Grenzen nicht existieren.

Also werde ich nehmen $\{t_{n}\} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{n}$ . Dann $t_{n} \rightarrow 1$ . Dann $f(t_{n}) = 0$ seit $\{t_{n}\}$ ist für alle irrational $n$ . Aber ich sehe nicht, wie das Definition 4.25 nicht erfüllt, da ich einfach meine haben kann $q = 0$ und mein $x = 1$ ?

Dave L. Renfro

Um also zu zeigen, dass eine Funktion Diskontinuitäten vom Typ 2 hat, muss ich zeigen, dass die Grenzen für die rechte und die linke Hand nicht existieren. --- Das ist nach Rudins Definition nicht ganz richtig. Seine Definition ist eine Diskontinuität vom Typ 2, wenn Sie nicht SOWOHL linke als auch rechte Grenzen haben, und dafür müssen Sie nur zeigen, dass MINDESTENS EINE der linken und rechten Grenzen nicht existiert (Negation von "P AND Q") ist "nicht-P ODER nicht-Q"). Natürlich KÖNNEN Sie eine Diskontinuität vom Typ 2 anzeigen, indem Sie zeigen, dass sowohl linke als auch rechte Grenzen nicht existieren, aber Sie MÜSSEN dies nicht tun, um eine Diskontinuität vom Typ 2 anzuzeigen.

Antworten (3)

Diskontinuitäten Definitionsverwirrung

Um also zu zeigen, dass eine Funktion Diskontinuitäten vom Typ 2 hat, muss ich zeigen, dass die Grenzen für die rechte und die linke Hand nicht existieren. --- Das ist nach Rudins Definition nicht ganz richtig. Seine Definition ist eine Diskontinuität vom Typ 2, wenn Sie nicht SOWOHL linke als auch rechte Grenzen haben, und dafür müssen Sie nur zeigen, dass MINDESTENS EINE der linken und rechten Grenzen nicht existiert (Negation von "P AND Q") ist "nicht-P ODER nicht-Q"). Natürlich KÖNNEN Sie eine Diskontinuität vom Typ 2 anzeigen, indem Sie zeigen, dass sowohl linke als auch rechte Grenzen nicht existieren, aber Sie MÜSSEN dies nicht tun, um eine Diskontinuität vom Typ 2 anzuzeigen.

5xum · Answer 1

Es gibt eigentlich zwei Dinge, die Sie verwirren.

Erstens :

Der $q$ im Bild ist vollkommen in Ordnung. Es ist eine quantifizierte Variable, was bedeutet, dass sie in einem Satz der Form „Wenn diese Eigenschaft etwa $q$ wahr ist, dann ist diese andere Sache gleich $q$ ."

Stellen Sie sich einen ähnlichen Satz vor: if $q$ ist dann der Abstand von den Füßen einer Person zu ihrem Kopf $q$ ist die Größe dieser Person.

Aus diesem Satz können wir schließen:

Wenn $q$ ist dann der Abstand von meinen Füßen zu ihrem Kopf $q$ ist meine Größe.
Wenn $q$ ist also die Entfernung von Lebron James' Füßen zu ihrem Kopf $q$ ist die Größe von Lebron James.

Beide obigen Sätze sind vollkommen wahr . Sie implizieren jedoch in keiner Weise, dass meine Körpergröße der Größe von Lebron James entspricht.

Zweitens :

Du sagst

Also werde ich nehmen $\{t_{n}\} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{n}$ . Dann $t_{n} \rightarrow 1$ . Dann $f(t_{n}) = 0$ seit $\{t_{n}\}$ ist für alle irrational $n$ . Aber ich sehe nicht, wie das Definition 4.25 nicht erfüllt, da ich einfach meine haben kann $q = 0$ und mein $x = 1$ ?

Die Antwort auf Ihre Frage ist nein , Sie können q nicht nehmen . Erinnern, $q$ ist die Grenze, wenn die im Buch aufgeführte Eigenschaft für jede Sequenz wahr ist $t_n$ . Die Eigenschaft gilt zwar für die bestimmte Sequenz, die Sie ausgewählt haben, aber die Eigenschaft ist nicht für alle Sequenzen wahr, wie durch die Aufnahme der Sequenz demonstriert wird $t_n = 1+\frac1n$ .

danke dafür, das ergibt mehr Sinn. Wenn ich also zeigen möchte, dass die rechte oder linke Grenze nicht existiert, muss ich zwei Folgen nehmen, die gegen konvergieren $x$ und dann zeigen, dass ich unterschiedliche Werte erhalte, wenn ich die Funktion auf sie anwende?
@learningmathematics Genau. Oder Sie können eine Sequenz finden, bei der die resultierenden Werte nicht konvergieren, wenn Sie die Funktion auf ihre Werte anwenden.

Kavi Rama Murthy · Answer 2

Damit das $f(x+)=q$ Wir müssen haben $f(t_n) \to q$ für jede Folge $t_n$ abnehmend zu $x$ . Sie nehmen nur eine bestimmte Sequenz, die auf abnimmt $1$ .

Alles tolle Antworten und wirklich hilfreich. Alles in allem wird eine Antwort von 5xum akzeptiert, da sie besonders detailliert war.

Infinity_hunter · Answer 3

Um zu zeigen, dass die rechte Grenze vorhanden ist $1$ , für jede Folge $t_n>1$ , $t_n \to 1$ Wir müssen haben $f(t_n)$ muss gegen eine Zahl konvergieren.

Sie haben jedoch nur eine Sequenz aufgenommen und untersucht. Wenn Sie eine andere Reihenfolge in Betracht ziehen $s_n = 1 + \frac{1}{n}$ Dann $f(s_n) =1 \to 1$ , also gibt es keine rechte Grenze.

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