Beweisen Sie, dass die Funktion f(x)=sin(x2) f(x)=sin⁡(x2)\ f(x)=\sin(x^2) auf dem Gebiet RR\mathbb{R} nicht gleichmäßig stetig ist.

Du hast gewählt$x^2=n\pi$Und$y^2 = n\pi+\frac{\pi}{2}$, damit Sie nehmen können$x=\sqrt{n \pi}$Und$y=\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}$.

Dann,

$|x-y|=\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}-\sqrt{n \pi}=\frac{n\pi + \frac{\pi}{2}-n\pi}{\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}+\sqrt{n \pi}}=\frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n \pi + \frac{\pi}{2}}+\sqrt{n \pi}}<\frac{2}{2\sqrt{n \pi}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$

Wenn$n > \frac{1}{\delta^2}$Dann$|x-y|<\delta$Aber$|f(x)-f(y)|\geq 1$. Die Werte$x,y$sind aber sehr nah$f(x)$Und$f(y)$sind weit auseinander. Intuitiv, z$\epsilon = 1$es gibt kein$\delta$das lässt dich wissen$f(x)$innerhalb der Präzision$\epsilon$wenn Sie wissen$x$innerhalb der Präzision$\delta$. Die Schwingungen ein$\sin(x^2)$immer schneller werden, ändert die Funktion in beliebig kleinen Abständen ihren Wert von 0 auf 1.

Beachten Sie, dass wenn Sie die Funktion auf ändern$\sin x$der Beweis wird scheitern, weil das Nehmen$x=n\pi$Und$y=n\pi+\frac{\pi}{2}$macht nicht$|x-y|<\delta$für klein$\delta$(In der Tat,$y-x$ist konstant). In der Tat,$\sin x$ist gleichmäßig stetig.

Hinweis: Wenn$x^2=n\pi$Und$\delta>0$, beachten Sie, dass$(x+\delta)^2>x^2+2\delta x$. Um dies zu machen$>n\pi +\frac12\pi$, es genügt zu haben$2\delta x > \frac12 \pi$. Dies gibt Ihnen eine Bedingung an$n$.

Das kann man auch sagen$f$ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn für irgendwelche$x_n$Und$y_n$so dass$(x_n - y_n)\to 0$impliziert$|f(x_n) - f(y_n)| \to 0$so können Sie zum Beispiel wählen$x_n=n$Und$y_n=n-\frac{1}{n}$, was wir sehen$x_n-y_n$. Allerdings haben wir das$f(x_n)-f(y_n) = 2cos(\frac{...}{2})sin(\frac{2-n^2}{2}) \not\to 0$. Wir sehen also, dass die Bedingung für$f$gleichmäßig kontinuierlich zu sein, schlägt fehl.